Pochodna kierunkowa - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 413
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Pochodna kierunkowa - omówienie - strona 1 Pochodna kierunkowa - omówienie - strona 2

Fragment notatki:

POCHODNA KIERUNKOWA
Załóżmy, że dimX 1.
z
z = f(x,y)
f ( P0 )
f[l]


v

l
P0
l||v i P0 єl
y
U
x
Definicja
Niech  X , . ,
Y , .  - przestrzenie unormowane nad ciałem K,
U  TopX (U - zbiór otwarty w przestrzeni X ),
f :U  Y ,
x0  U ,

v  X.

Dodatkowo zakładamy (por. F. Leja “Rachunek różniczkowy i całkowy”), że v jest

wektorem jednostkowym, tzn. | v |  1.

Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie x0 w kierunku wektora v nazywamy taki wektor
( D f ) x0   Y , że:
v



f  x0  t v   f  x0 

 D f  x  : lim 

 0
t 0
 v 
t
lub równoważnie (z wykorzystaniem o(h))



f  x0  t v   f x0   t   D f x0   ot .


 v 


1
Przykład
Niech f : R 2  R 3 , f  x, y   xy, x  y , x 2  y 2 .
Wyznaczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x0, y0)=(2, 1) w kierunku



wyznaczonym przez wektor v  [1, 2] .


Wersor v e równoległy do wektora v jest postaci

ve 

v


|v|
[1,2]   5 2 5 

,

5 
5
 5
zatem

5
2 5 
f 2
t, 1 
t   f 2, 1

5
5 




 D f 2,1  lim

  
t 0
t
ve



  2  5 t   1  2 5 t  , 3  5 t ,
 


5  
5 
5

 

 lim 
2

5   2 5 
2 
t   1 
t

5  
5 

 

2

  2, 3, 5



t
 2 2 3 5

5
 t 
t  2,
t  3, t 2  5   2, 3, 5
 5

5
5

 lim 

t 0
t
 2 2 3 5
5 2
 t 
t,
t, t 
 5

5
5

  lim  2 t  3 5 , 5 , t    3 5 , 5 ,

 
 lim
t 0
t 0 
t
5
5
5   5
5

 
t 0
opracował Jacek Zańko
2

0


... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz