Pochodne cząstkowe - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 539
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Pochodne cząstkowe - omówienie - strona 1 Pochodne cząstkowe - omówienie - strona 2

Fragment notatki:

POCHODNE CZĄSTKOWE
n
Niech X = K ,
{e1, ..., en} – baza kanoniczna K n ,
U  TopK n ,
f :U  Y ,

x0 U ,
0
0
x 0  x10 , x2 , ..., xn

(czyli x - punkt należący do zbioru U otwartego w K n ).
Wtedy j-tą pochodną cząstkową funkcji f w punkcie x0 nazywamy pochodną kierunkową
De j f x 0 w kierunku wektora ej i oznaczamy
0
 
f 0
x : De j f x 0 .
x j
 
 
Zatem
f 0
x
x j
 
z def . pochodnej
kierunkowej

lim


f x 0  te j  f ( x 0 )
t
t 0
 lim


0
0
0
0
f x10 , x2 , ..., x 01 , x 0  t , x 01 , ... , xn  f ( x10 , x2 , ..., xn )
j
j
j
t
t 0
Przykład
Niech f : R 2  R
 x,
f  x, y   
0,
gdy
gdy
y  0,
y  0.
0
Wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie x  0, 0.
f
0,0  lim f 0  t ,0  f 0, 0  lim f t , 0  f 0, 0  lim t  0  lim1  1
t 0
t 0
t 0
t 0
x
t
t
t
f
0, 0  lim f 0, 0  t   f 0, 0  lim f 0, t   f 0, 0   lim 0  0  lim 0  0
t 0
t 0
t 0
t 0
x
t
t
t
Związek między istnieniem pochodnych kierunkowych a ciągłością funkcji
Uwaga
1. Istnienie pochodnych cząstkowych w punkcie nie zapewnia ciągłości funkcji w tym
punkcie.
2. Istnienie pochodnej kierunkowej funkcji w punkcie w kierunku dowolnego wektora
(unormowanego) nie zapewnie ciągłości funkcji w tym punkcie.
1
Przykład
Niech f : R 2  R
1, gdy x  0 lub y  0,
f  x, y   
0, w przeciwnym przypadku.
Wtedy istnieją pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie (0, 0), choć funkcja nie jest ciągła w
tym punkcie.
Przykład
Niech f : R 2  R
 x3 y

,
f  x, y    x 6  y 2
0,

gdy
( x, y )  (0, 0),
gdy
( x, y )  (0, 0).
Zbadać ciągłość funkcji f oraz wyznaczyć pochodną kierunkową w kierunku dowolnego
wektora w punkcie x 0  0, 0 .



Niech v  v1 , v2   0 , v - niezerowy wektor unormowany, tzn. v  1 .
Wtedy
3
t 4 v1 v2
0
6
2
f 0, 0   t v1 , v2   f 0, 0 
f tv1 , tv2   f 0, 0 
t 6 v1  t 2 v2
D f 0, 0   lim
 lim
 lim

t 0
t 0
t 0
v
t
t
t
3
3
0, gdy v2  0 
t 4 v1 v2
v1 v2
 lim 3 4 6
 lim t  4 6

0

2
2
t 0 t t v  v
t 0
0, gdy v2  0
 t v1  v2
1
2



0

0
Udowodniliśmy, że istnieje pochodna kierunkowa funkcji w punkcie (0,0) w kierunku
dowolnego wektora.
1 1 
Jednakże funkcja nie jest ciągła w tym punkcie, bo dla ciągu xn , y n    , 3 
n n 
n  N : xn  0, yn  0;
lim xn , yn   (0, 0)
n 
oraz
1
6
1
lim f  xn , yn   lim n   0  f 0, 0 ,
n 
n 
1
2 6 2
n
zatem na podstawie definicji Heinego f  C 0, 0  .
opracował Jacek Zańko
2
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz