POCHODNE CZĄSTKOWE
n
Niech X = K ,
{e1, ..., en} – baza kanoniczna K n ,
U TopK n ,
f :U Y ,
x0 U ,
0
0
x 0 x10 , x2 , ..., xn
(czyli x - punkt należący do zbioru U otwartego w K n ).
Wtedy j-tą pochodną cząstkową funkcji f w punkcie x0 nazywamy pochodną kierunkową
De j f x 0 w kierunku wektora ej i oznaczamy
0
f 0
x : De j f x 0 .
x j
Zatem
f 0
x
x j
z def . pochodnej
kierunkowej
lim
f x 0 te j f ( x 0 )
t
t 0
lim
0
0
0
0
f x10 , x2 , ..., x 01 , x 0 t , x 01 , ... , xn f ( x10 , x2 , ..., xn )
j
j
j
t
t 0
Przykład
Niech f : R 2 R
x,
f x, y
0,
gdy
gdy
y 0,
y 0.
0
Wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie x 0, 0.
f
0,0 lim f 0 t ,0 f 0, 0 lim f t , 0 f 0, 0 lim t 0 lim1 1
t 0
t 0
t 0
t 0
x
t
t
t
f
0, 0 lim f 0, 0 t f 0, 0 lim f 0, t f 0, 0 lim 0 0 lim 0 0
t 0
t 0
t 0
t 0
x
t
t
t
Związek między istnieniem pochodnych kierunkowych a ciągłością funkcji
Uwaga
1. Istnienie pochodnych cząstkowych w punkcie nie zapewnia ciągłości funkcji w tym
punkcie.
2. Istnienie pochodnej kierunkowej funkcji w punkcie w kierunku dowolnego wektora
(unormowanego) nie zapewnie ciągłości funkcji w tym punkcie.
1
Przykład
Niech f : R 2 R
1, gdy x 0 lub y 0,
f x, y
0, w przeciwnym przypadku.
Wtedy istnieją pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie (0, 0), choć funkcja nie jest ciągła w
tym punkcie.
Przykład
Niech f : R 2 R
x3 y
,
f x, y x 6 y 2
0,
gdy
( x, y ) (0, 0),
gdy
( x, y ) (0, 0).
Zbadać ciągłość funkcji f oraz wyznaczyć pochodną kierunkową w kierunku dowolnego
wektora w punkcie x 0 0, 0 .
Niech v v1 , v2 0 , v - niezerowy wektor unormowany, tzn. v 1 .
Wtedy
3
t 4 v1 v2
0
6
2
f 0, 0 t v1 , v2 f 0, 0
f tv1 , tv2 f 0, 0
t 6 v1 t 2 v2
D f 0, 0 lim
lim
lim
t 0
t 0
t 0
v
t
t
t
3
3
0, gdy v2 0
t 4 v1 v2
v1 v2
lim 3 4 6
lim t 4 6
0
2
2
t 0 t t v v
t 0
0, gdy v2 0
t v1 v2
1
2
0
0
Udowodniliśmy, że istnieje pochodna kierunkowa funkcji w punkcie (0,0) w kierunku
dowolnego wektora.
1 1
Jednakże funkcja nie jest ciągła w tym punkcie, bo dla ciągu xn , y n , 3
n n
n N : xn 0, yn 0;
lim xn , yn (0, 0)
n
oraz
1
6
1
lim f xn , yn lim n 0 f 0, 0 ,
n
n
1
2 6 2
n
zatem na podstawie definicji Heinego f C 0, 0 .
opracował Jacek Zańko
2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)