To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
POCHODNA KIERUNKOWA
Załóżmy, że dimX 1.
z
z = f(x,y)
f ( P0 )
f[l]
→
→
v
→
l
P0
l||v i P0 єl
y
U
x
Definicja
Niech X , . ,
Y , . - przestrzenie unormowane nad ciałem K,
U TopX (U - zbiór otwarty w przestrzeni X ),
f :U Y ,
x0 U ,
v X.
Dodatkowo zakładamy (por. F. Leja “Rachunek różniczkowy i całkowy”), że v jest
wektorem jednostkowym, tzn. | v | 1.
Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie x0 w kierunku wektora v nazywamy taki wektor
( D f ) x0 Y , że:
v
f x0 t v f x0
D f x : lim
0
t 0
v
t
lub równoważnie (z wykorzystaniem o(h))
f x0 t v f x0 t D f x0 ot .
v
1
Przykład
Niech f : R 2 R 3 , f x, y xy, x y , x 2 y 2 .
Wyznaczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x0, y0)=(2, 1) w kierunku
wyznaczonym przez wektor v [1, 2] .
Wersor v e równoległy do wektora v jest postaci
ve
v
|v|
[1,2] 5 2 5
,
5
5
5
zatem
5
2 5
f 2
t, 1
t f 2, 1
5
5
D f 2,1 lim
t 0
t
ve
2 5 t 1 2 5 t , 3 5 t ,
5
5
5
lim
2
5 2 5
2
t 1
t
5
5
2
2, 3, 5
t
2 2 3 5
5
t
t 2,
t 3, t 2 5 2, 3, 5
5
5
5
lim
t 0
t
2 2 3 5
5 2
t
t,
t, t
5
5
5
lim 2 t 3 5 , 5 , t 3 5 , 5 ,
lim
t 0
t 0
t
5
5
5 5
5
t 0
opracował Jacek Zańko
2
0
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)