Funkcje uwikłane - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 42
Wyświetleń: 1421
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Funkcje uwikłane - omówienie - strona 1 Funkcje uwikłane - omówienie - strona 2 Funkcje uwikłane - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

FUNKCJE UWIKŁANE
Niech F : R  R
Rozważamy równanie
2
F  x, y   0 .
Definicja
Jeśli istnieje funkcja y  f  x  , spełniająca w każdym punkcie x  X  R warunek
F x, f ( x)   0 , to nazywamy ją funkcją uwikłaną określoną w zbiorze X równaniem
F  x, y   0 .
Przykład
2
2
Rozważmy równanie x  y  1  0 .
y
1
y = y1
1
x
Istnieją funkcje uwikłane spełniające to równanie:
y1  1  x 2 dla x   1,1
lub
y2   1  x 2 dla x   1,1 .
Istnieje nieskończenie wiele funkcji uwikłanych spełniających powyższe równanie, na
przykład funkcja y  y3 .
y
1
y = y3
1
Uwaga
Będziemy rozważać tylko ciągłe funkcje uwikłane.
1
x
Rozważamy problem istnienia funkcji uwikłanej.
Np. równanie x 2  y 2  1  0 nie określa żadnej funkcji uwikłanej,
natomiast równanie y  x 2  0 określa dokładnie jedną funkcję uwikłaną.
Twierdzenie (o istnieniu i jednoznaczności funkcji uwikłanej)
Z: U  TopR 2
F :U  R
F  C 1 U 
P0  x0 , y0   U
F  x0 , y0   0
F
x0 , y0   0
y

T: ! ciągła funkcja uwikłana y  f x  określona w pewnym przedziale
x0   , x0    za pomocą równania F x, y   0 i spełniająca warunek f x0   y0
(czyli funkcja uwikłana przechodząca przez wybrany punkt P0).
Wniosek
Jeśli spełnione są założenia twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności funkcji uwikłanej, to
 f ' x  w pewnym otoczeniu punktu x0 i
F
 x, f ( x ) 
f '  x    x
F
 x, f ( x ) 
y
lub krótko:
F
 x, y 
y '   x
.
F
 x, y 
y
Dowód (szkic)
Rozważmy równanie F  x, y   0 . Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności funkcji
uwikłanej wiemy, że  funkcja uwikłana y  f (x ) taka, że
F  x, f ( x)   0 dla
x  x0   , x0    .
Równanie różniczkujemy stronami i wyznaczamy pochodną funkcji f.
F x F
 
 f ' ( x)  0 dla x  x0   , x0   
x  y
x
1

F
0
y
F
 x, f ( x ) 
x
f ' ( x) 
F
 x, f ( x ) 
y

‫ڤ‬
2
Uwaga
Korzystając z powyższego wniosku możemy wyznaczyć ekstrema funkcji bez rozwikłania tej
funkcji.
Twierdzenie (o drugiej pochodnej funkcji uwikłanej)
Z: U  TopR 2
F :U  R
F  C 2 U 
P0  x0 , y0   U
F  x0 , y0   0

F
x0 , y0   0
y
T: Funkcja ciągła y  f  x  określona w przedziale  x0   , x0    równaniem F  x, y   0 i
spełniająca warunek f x0   y0 posiada w pewnym otoczeniu punktu x0 drugą pochodną.
Wzór na drugą pochodną funkcji uwikłanej
Na podstawie wniosku o pierwszej pochodnej funkcji uwikłanej
F
 x, y 
F
x
y'  
,
gdzie
 0.
F
y
 x, y 
y
1
Stąd
 2 

  F x  2 F
 F   2 F
 F
2F
 y' 

1  2  y '  
 2  
 xy
 x
y

 x x yx  y 


y' '  

2
 F 

 y 





 F 


2
2
2
2
 F F  F F  F F  F  x 







F
x 2 y yx x xy x y 2
y
 F 

 y 



2
 F 


2
2
2
 F F
 F F  F  x 

2



F
x 2 y
xy x y 2
y
2
2

2
 F 

 y 



bo, na podstawie założeń o ciągłości drugiej pochodnej funkcji F, mieszane pochodne
cząstkowe są sobie równe.
3 ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz