Granice funkcji wielu zmiennych - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 105
Wyświetleń: 1295
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Granice funkcji wielu zmiennych - omówienie - strona 1 Granice funkcji wielu zmiennych - omówienie - strona 2 Granice funkcji wielu zmiennych - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

METODY OBLICZANIA GRANIC FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
I. Obliczanie granic przy wykorzystaniu definicji Heinego granicy funkcji.
Definicja (Heinego)
Niech
(X,d) – przestrzeń metryczna
Y – przestrzeń topologiczna
f : X Y,
g  Y – element przestrzeni topologicznej
P0 ' D f
( P0 jest punktem skupienia dziedziny funkcji f )
Granicą funkcji f w punkcie P0 jest element g, lim f ( P )  g , wtedy i tylko wtedy, gdy
P  P0
spełniony jest warunek
 ( Pn ) nN  D f , Pn  P0 : (lim Pn  P0
n 
 lim f ( Pn )  g )
n 
Interpretacja geometryczna
f : R2  R
Po ' D f
Pn nN - dowolny ciąg, którego wyrazy dążą do P0 i Pn  P0
 f Pn nN - ciąg wartości funkcji f obliczonych w punktach P1 , P2 , ...
z
g
 f P'n nN
 f Pn nN
z  f ( x, y )
Pn nN
P'n nN
x
P0
y
Df
Zamiast rozważać ciągi punktów, rozważmy pewne krzywe (drogi) do których mogą należeć
te punkty.
Uwaga
1) Jeśli dla każdej drogi (krzywej) istnieje granica i jest zawsze ta
sama, to funkcja posiada granicę podwójną.
2) Jeśli dla dwóch różnych dróg otrzymamy różne granice, to funkcja
nie posiada granicy podwójnej.
1
Przykład
Obliczyć granicę
x
( x , y )( 0, 0 ) x  y
lim
Założenie: y   x
y
Rozważmy dwie drogi.
2)
1)
x
← (wyrzucamy prostą y = - x)
1)
y  const 
 
( x, y )  (0,0) 
y  0, x  0 i x  0 , tzn. wybieramy drogę 1)
wtedy
lim
x 0
x
 lim1  1
x x 0
2)
x  const 
  x  0, y  0 i y  0 , tzn. wybieramy drogę 2)
( x, y )  (0,0)
wtedy
0 y0
 lim 0  0
y 0 y
y 0
lim
x
.
( x , y )( 0, 0 ) x  y
Wniosek: dla dwóch różnych dróg granice są różne  ~  lim
Uwaga
Nie ma odpowiednika reguły de L'Hospitala dla funkcji wielu zmiennych.
2
II. Obliczanie granicy podwójnej z wykorzystaniem współrzędnych biegunowych
Do obliczenia granicy
lim
(x,y)( 0 ,0 )
f ( x, y ) stosujemy współrzędne biegunowe
 x  r cos 
, gdzie r  0,

 y  r sin 
  [0,2 ) .
Niech P0 (0,0) .
.
Zauważmy, że jeśli ( x, y )  (0,0) , to
r  0 i  jest dowolne, ale może być
zależne od r,    (r ) .
P0(0,0)
Df
Wtedy badamy granicę lim f  x(r ,  ), y (r ,  )   lim f (r cos  , r sin  ) i jeśli istnieje, to jest
r 0
  dow.
r 0
  dow.
ona równa granicy wyjściowej.
Badanie granicy funkcji f ( x, y ) w punkcie P ( x0 , y0 )  P0 (0,0) można sprowadzić do badania
granicy innej funkcji, tzn. funkcji f ( x0  t , y0  s) , w punkcie P0(0,0) dla (t , s)  (0,0) ,
stosując podstawienie
 x  x0  t

 y  y0  s
Wtedy
( x, y )  ( x0 , y0 )  (t , s)  (0,0)
i
lim
f ( x, y )  lim f ( x0  t , y0  s )
( x , y ) ( x0 , y0 )
( t , s ) ( 0 , 0 )
t  r cos 
Następnie stosując współrzędne biegunowe 
,
 s  r sin 
 x  x0  r cos 
lub podstawienie równoważne  y  y  r sin  , badanie granicy
0

sprowadzamy do zbadania granicy lim f ( x0  r cos  , y0  r sin  ) .
r 0
  dow.
3
lim
( x , y )  ( x0 , y 0 )
f ( x, y )
Przykłady
0
1. Obliczyć granicę


x2 y
lim
( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2  y 2


0
 x  r cos 
Wykorzystujemy ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz