METODY OBLICZANIA GRANIC FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
I. Obliczanie granic przy wykorzystaniu definicji Heinego granicy funkcji.
Definicja (Heinego)
Niech
(X,d) – przestrzeń metryczna
Y – przestrzeń topologiczna
f : X Y,
g Y – element przestrzeni topologicznej
P0 ' D f
( P0 jest punktem skupienia dziedziny funkcji f )
Granicą funkcji f w punkcie P0 jest element g, lim f ( P ) g , wtedy i tylko wtedy, gdy
P P0
spełniony jest warunek
( Pn ) nN D f , Pn P0 : (lim Pn P0
n
lim f ( Pn ) g )
n
Interpretacja geometryczna
f : R2 R
Po ' D f
Pn nN - dowolny ciąg, którego wyrazy dążą do P0 i Pn P0
f Pn nN - ciąg wartości funkcji f obliczonych w punktach P1 , P2 , ...
z
g
f P'n nN
f Pn nN
z f ( x, y )
Pn nN
P'n nN
x
P0
y
Df
Zamiast rozważać ciągi punktów, rozważmy pewne krzywe (drogi) do których mogą należeć
te punkty.
Uwaga
1) Jeśli dla każdej drogi (krzywej) istnieje granica i jest zawsze ta
sama, to funkcja posiada granicę podwójną.
2) Jeśli dla dwóch różnych dróg otrzymamy różne granice, to funkcja
nie posiada granicy podwójnej.
1
Przykład
Obliczyć granicę
x
( x , y )( 0, 0 ) x y
lim
Założenie: y x
y
Rozważmy dwie drogi.
2)
1)
x
← (wyrzucamy prostą y = - x)
1)
y const
( x, y ) (0,0)
y 0, x 0 i x 0 , tzn. wybieramy drogę 1)
wtedy
lim
x 0
x
lim1 1
x x 0
2)
x const
x 0, y 0 i y 0 , tzn. wybieramy drogę 2)
( x, y ) (0,0)
wtedy
0 y0
lim 0 0
y 0 y
y 0
lim
x
.
( x , y )( 0, 0 ) x y
Wniosek: dla dwóch różnych dróg granice są różne ~ lim
Uwaga
Nie ma odpowiednika reguły de L'Hospitala dla funkcji wielu zmiennych.
2
II. Obliczanie granicy podwójnej z wykorzystaniem współrzędnych biegunowych
Do obliczenia granicy
lim
(x,y)( 0 ,0 )
f ( x, y ) stosujemy współrzędne biegunowe
x r cos
, gdzie r 0,
y r sin
[0,2 ) .
Niech P0 (0,0) .
.
Zauważmy, że jeśli ( x, y ) (0,0) , to
r 0 i jest dowolne, ale może być
zależne od r, (r ) .
P0(0,0)
Df
Wtedy badamy granicę lim f x(r , ), y (r , ) lim f (r cos , r sin ) i jeśli istnieje, to jest
r 0
dow.
r 0
dow.
ona równa granicy wyjściowej.
Badanie granicy funkcji f ( x, y ) w punkcie P ( x0 , y0 ) P0 (0,0) można sprowadzić do badania
granicy innej funkcji, tzn. funkcji f ( x0 t , y0 s) , w punkcie P0(0,0) dla (t , s) (0,0) ,
stosując podstawienie
x x0 t
y y0 s
Wtedy
( x, y ) ( x0 , y0 ) (t , s) (0,0)
i
lim
f ( x, y ) lim f ( x0 t , y0 s )
( x , y ) ( x0 , y0 )
( t , s ) ( 0 , 0 )
t r cos
Następnie stosując współrzędne biegunowe
,
s r sin
x x0 r cos
lub podstawienie równoważne y y r sin , badanie granicy
0
sprowadzamy do zbadania granicy lim f ( x0 r cos , y0 r sin ) .
r 0
dow.
3
lim
( x , y ) ( x0 , y 0 )
f ( x, y )
Przykłady
0
1. Obliczyć granicę
x2 y
lim
( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2
0
x r cos
Wykorzystujemy
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)