EKSTREMA LOKALNE
Silne ekstrema lokalne
Definicja
Niech X – przestrzeń topologiczna,
f : X R,
x0 X .
z def .
1° f ma w x0 silne minimum lokalne : V * Top * ( x0 ) : f ( x0 ) f ( x) dla x V *
istnieje takie
sąsiedztwo
punktu x0
z def .
2° f ma w x0 silne maksimum lokalne : V * Top * ( x0 ) : f ( x0 ) f ( x) dla x V *
Słabe ekstrema lokalne
Definicja
1° f ma w x0 słabe minimum lokalne : V * Top * ( x0 ) : f ( x0 ) f ( x) dla x V *
2° f ma w x0 słabe maksimum lokalne : V * Top * ( x0 ) : f ( x0 ) f ( x) dla x V *
Niech * oznacza następujące ogólne założenia
U TopR n
* f :U R
x U
0
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)
Zakładamy, że zachodzi * oraz dodatkowo:
f D( x0 ) , tzn. f jest różniczkowalna w x0
i
f ma ekstremum lokalne w x0.
Teza:
d x0 f 0
(pierwsza różniczka funkcji f w punkcie x0 jest równa 0).
Uwaga
Macierz pochodnych cząstkowych odpowiadająca danej różniczce jest równa zero wtedy i tylko
wtedy, gdy wszystkie pochodne cząstkowe tworzące macierz są równe zero,
f
d x0 f 0
0 j 1,..., n
x j
Definicja
Punktem stacjonarnym funkcji różniczkowalnej f nazywamy taki punkt x0, w którym różniczka jest
równa 0; czyli d x0 f 0
1
Dygresja (przypomnienie z algebry)
Definicja
Niech X ,
- przestrzeń unormowana nad ciałem K
g : X K.
Wtedy g jest formą kwadratową, jeśli G L2 ( X , K ), G symetryczne i takie, że
g (h) G (h, h) h X .
Definicja
g – określona dodatnio g (h) 0 h X \ 0
g – określona ujemnie g (h) 0 h X \ 0
g – półokreślona dodatnio g (h) 0 h X
g – półokreślona ujemnie g (h) 0 h X
Twierdzenie Sylwestera (o określoności formy kwadratowej)
Zał: A – macierz formy kwadratowej g
A aij
i , j 1,..., n
d k det aij
, gdzie aij R dla i, j 1,..., n
i , j 1,..., k
dla k 1,..., n
minory wyznaczniki
główne podmacierzy
Teza: 1° forma g – jest określona dodatnio k 1,..., n : d k 0.
(wszytskie minory (wyznaczniki) główne są większe od zera)
2° forma g jest określona ujemnie k 1,..., n : (1) k d k 0.
Twierdzenie (o półokreśloności formy kwadratowej)
Zał: A – macierz formy kwadratowej
A aij i , j 1,...,n ,
gdzie aij R dla i, j 1,..., n
d k det aij
i , j 1,..., k
dla k 1,..., n
Teza: 1° g – półokreślona dodatnio k 1,..., n : d k 0
2° g – półokreślona ujemnie k 1,..., n : ( 1) k d k 0
Koniec dygresji
2
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)
Zał: Zachodzi * oraz
f D 2 ( x0 ) tzn. funkcja f jest dwukrotnie rózniczkowalna w punkcie x0.
2
Teza: 1° Jeśli d x0 f 0 d x0 f określona dodatnio f ma w x0 minimum lokalne.
2
2° Jeśli d x0 f 0 d x0 f określona ujemnie f ma w x0 maximum lokalne.
Dowód (szkic):
Ad. 1°,
1
f ( x0 h) f ( x0 ) d x0 f (h) d x20 f ( h) o h
2
z zał.=0
f ( x0 h) f ( x0 )
2
1 2
2
d x0 f ( h ) o h 0
2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)