Ekstrema lokalne - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 21
Wyświetleń: 518
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Ekstrema lokalne - omówienie - strona 1 Ekstrema lokalne - omówienie - strona 2 Ekstrema lokalne - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

EKSTREMA LOKALNE
Silne ekstrema lokalne
Definicja
Niech X – przestrzeń topologiczna,
f : X  R,
x0  X .
z def .
1° f ma w x0 silne minimum lokalne :   V *  Top * ( x0 ) : f ( x0 )  f ( x) dla x  V *

istnieje takie
sąsiedztwo
punktu x0
z def .
2° f ma w x0 silne maksimum lokalne :   V *  Top * ( x0 ) : f ( x0 )  f ( x) dla x  V *
Słabe ekstrema lokalne
Definicja
1° f ma w x0 słabe minimum lokalne :   V *  Top * ( x0 ) : f ( x0 )  f ( x) dla x  V *
2° f ma w x0 słabe maksimum lokalne :   V *  Top * ( x0 ) : f ( x0 )  f ( x) dla x  V *
Niech * oznacza następujące ogólne założenia
U  TopR n

*  f :U  R
 x U
 0
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)
Zakładamy, że zachodzi * oraz dodatkowo:
f  D( x0 ) , tzn. f jest różniczkowalna w x0
i
f ma ekstremum lokalne w x0.
Teza:
d x0 f  0
(pierwsza różniczka funkcji f w punkcie x0 jest równa 0).
Uwaga
Macierz pochodnych cząstkowych odpowiadająca danej różniczce jest równa zero wtedy i tylko
wtedy, gdy wszystkie pochodne cząstkowe tworzące macierz są równe zero,
f
d x0 f  0 
 0  j  1,..., n
x j
Definicja
Punktem stacjonarnym funkcji różniczkowalnej f nazywamy taki punkt x0, w którym różniczka jest
równa 0; czyli d x0 f  0
1
Dygresja (przypomnienie z algebry)
Definicja
Niech X , 
 - przestrzeń unormowana nad ciałem K
g : X  K.
Wtedy g jest formą kwadratową, jeśli  G  L2 ( X , K ), G  symetryczne i takie, że
g (h)  G (h, h)  h  X .
Definicja
g – określona dodatnio  g (h)  0  h  X \ 0
g – określona ujemnie  g (h)  0  h  X \ 0
g – półokreślona dodatnio  g (h)  0  h  X
g – półokreślona ujemnie  g (h)  0  h  X
Twierdzenie Sylwestera (o określoności formy kwadratowej)
Zał: A – macierz formy kwadratowej g
 
A  aij
i , j 1,..., n
 
d k  det aij

, gdzie aij  R dla i, j  1,..., n
i , j 1,..., k
dla k  1,..., n

minory wyznaczniki
główne podmacierzy
Teza: 1° forma g – jest określona dodatnio   k  1,..., n : d k  0.
(wszytskie minory (wyznaczniki) główne są większe od zera)
2° forma g jest określona ujemnie   k  1,..., n : (1) k d k  0.
Twierdzenie (o półokreśloności formy kwadratowej)
Zał: A – macierz formy kwadratowej
A  aij i , j 1,...,n ,
gdzie aij  R dla i, j  1,..., n
 
 
d k  det aij
i , j 1,..., k
dla k  1,..., n
Teza: 1° g – półokreślona dodatnio   k  1,..., n : d k  0
2° g – półokreślona ujemnie   k  1,..., n : ( 1) k d k  0
Koniec dygresji
2
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)
Zał: Zachodzi * oraz
f  D 2 ( x0 ) tzn. funkcja f jest dwukrotnie rózniczkowalna w punkcie x0.
2
Teza: 1° Jeśli d x0 f  0  d x0 f określona dodatnio  f ma w x0 minimum lokalne.
2
2° Jeśli d x0 f  0  d x0 f  określona ujemnie  f ma w x0 maximum lokalne.
Dowód (szkic):
Ad. 1°,
1
f ( x0  h)  f ( x0 )  d x0 f (h)  d x20 f ( h)  o h
  2
 
 
z zał.=0
f ( x0  h)  f ( x0 ) 
2
 
1 2
2
d x0 f ( h )  o h  0


2 
  ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz