Ekstrema lokalne-opracowanie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 168
Wyświetleń: 1078
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Ekstrema lokalne-opracowanie - strona 1 Ekstrema lokalne-opracowanie - strona 2 Ekstrema lokalne-opracowanie - strona 3

Fragment notatki:

EKSTREMA LOKALNE
Silne ekstrema lokalne
Definicja
Niech X – przestrzeń topologiczna,
f : X  R,
x0  X .
z def .
1° f ma w x0 silne minimum lokalne :   V *  Top * ( x0 ) : f ( x0 )  f ( x) dla x  V *

istnieje takie
sąsiedztwo
punktu x0
z def .
2° f ma w x0 silne maksimum lokalne :   V *  Top * ( x0 ) : f ( x0 )  f ( x) dla x  V *
Słabe ekstrema lokalne
Definicja
1° f ma w x0 słabe minimum lokalne :   V *  Top * ( x0 ) : f ( x0 )  f ( x) dla x  V *
2° f ma w x0 słabe maksimum lokalne :   V *  Top * ( x0 ) : f ( x0 )  f ( x) dla x  V *
Niech * oznacza następujące ogólne założenia
U  TopR n

*  f :U  R
 x U
 0
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)
Zakładamy, że zachodzi * oraz dodatkowo:
f  D( x0 ) , tzn. f jest różniczkowalna w x0
i
f ma ekstremum lokalne w x0.
Teza:
d x0 f  0
(pierwsza różniczka funkcji f w punkcie x0 jest równa 0).
Uwaga
Macierz pochodnych cząstkowych odpowiadająca danej różniczce jest równa zero wtedy i tylko
wtedy, gdy wszystkie pochodne cząstkowe tworzące macierz są równe zero,
f
d x0 f  0 
 0  j  1,..., n
x j
Definicja
Punktem stacjonarnym funkcji różniczkowalnej f nazywamy taki punkt x0, w którym różniczka jest
równa 0; czyli d x0 f  0
1
Dygresja (przypomnienie z algebry)
Definicja
Niech X , 
 - przestrzeń unormowana nad ciałem K
g : X  K.
Wtedy g jest formą kwadratową, jeśli  G  L2 ( X , K ), G  symetryczne i takie, że
g (h)  G (h, h)  h  X .
Definicja
g – określona dodatnio  g (h)  0  h  X \ 0
g – określona ujemnie  g (h)  0  h  X \ 0
g – półokreślona dodatnio  g (h)  0  h  X
g – półokreślona ujemnie  g (h)  0  h  X
Twierdzenie Sylwestera (o określoności formy kwadratowej)
Zał: A – macierz formy kwadratowej g
 
A  aij
i , j 1,..., n
 
d k  det aij

, gdzie aij  R dla i, j  1,..., n
i , j 1,..., k
dla k  1,..., n

minory wyznaczniki
główne podmacierzy
Teza: 1° forma g – jest określona dodatnio   k  1,..., n : d k  0.
(wszytskie minory (wyznaczniki) główne są większe od zera)
2° forma g jest określona ujemnie   k  1,..., n : (1) k d k  0.
Twierdzenie (o półokreśloności formy kwadratowej)
Zał: A – macierz formy kwadratowej
A  aij i , j 1,...,n ,
gdzie aij  R dla i, j  1,..., n
 
 
d k  det aij
i , j 1,..., k
dla k  1,..., n
Teza: 1° g – półokreślona dodatnio   k  1,..., n : d k  0
2° g – półokreślona ujemnie   k  1,..., n : ( 1) k d k  0
Koniec dygresji
2
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)
Zał: Zachodzi * oraz
f  D 2 ( x0 ) tzn. funkcja f jest dwukrotnie rózniczkowalna w punkcie x0.
2
Teza: 1° Jeśli d x0 f  0  d x0 f określona dodatnio  f ma w x0 minimum lokalne.
2
2° Jeśli d x0 f  0  d x0 f  określona ujemnie  f ma w x0 maximum lokalne.
Dowód (szkic):
Ad. 1°,
1
f ( x0  h)  f ( x0 )  d x0 f (h)  d x20 f ( h)  o h
  2
 
 
z zał.=0
f ( x0  h)  f ( x0 ) 
2
 
1 2
2
d x0 f ( h )  o h  0


2 
 
jest określona
dodatnio 0
dowodzi się
że jest 0
więc w punkcie x0 jest ekstremum (minimum) lokalne.
Wniosek (warunek wystarczjący istnienia ekstremum lokalnego)
Zał: Zachodzi* oraz
f  C 2 m U ,
 j  1,...,2m  1 : d xj0 f  0.
Teza: 1° Jeśli d x20m f jest określona dodatnio, to f ma w punkcie x0 minimum lokalne.
2° Jeśli d x20m f jest określona ujemnie, to f ma w punkcie x0 maksimum lokalne.
Twierdzenie (silny warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)
Zał: Zachodzi * oraz
f  D 2 ( x0 ) .
Teza: 1° f ma minimum w x0  d x0 f  0  d x20 f  0 ( tzn. d x20 f  półokreślona dodatnio)
2
2
2° f ma maksimum w x0  d x0 f  0  d x0 f  0 ( d x0 f  półokreślona ujemnie)
Wniosek
2
Jeśli d x0 f jest nieokreślona w punkcie stacjonarnym x0 , to wtedy w x0 nie istnieje ekstremum
lokalne funkcji f.
Uwaga
2
Z półokreśloności formy d x0 f nie wynika istnienie ekstremum lokalnego w x0 .
3

Przykład
Zbadać określoność drugiej różniczki funkcji f ( x, y )  x 3  xy  2 y 2  7 x  5 y  3
w punkcie P(3,1).
f
 3x 2  y  7
x
f
 x  4y  5
y
2 f
  f 
    6x
2
x
x  x 
2 f
  f 
  4
2
y
y  y 
 
2
 f
  f 
  f   2 f
   1   
xy x  y 
y  x  yx
 
Niech h  h1 , h2  , h  0,0 . Wtedy
2 f
2 f
2 f
2
2
2
2
d f ( h)  2 ( P) h1  2
( P )h1h2  2 ( P )h2  18h1  2h1h2  4h2 
x
xy
y
2
P


 17h1  h1  2h1h2  h2  3h2  17 h1  3h2  h1  h2   0 bo zakładaliśmy, że h  0,0 .
 
   
 
2
2
2
2
2
2
0
2
0
2
Z powyższych rozważań wynika że, d P f jest formą określoną dodatnio.
Przykład
Zbadać ekstrema funkcji:
1) f  x, y   x 4  y 4
Pierwsza różniczka funkcji f musi być równa 0 (szukamy punktów stacjonarnych):
f
 4x3
x
f
 4 y3
y
4 x 3  0
 ( x, y )  (0,0)  P0 0,0  punkt stacjonarny
 3
4y  0

Obliczamy drugie pochode cząstkowe
2 f
 12 x 2
2
x
2 f
 12 y 2
y 2
2 f
2 f
0
xy
yx
4
Stąd
12 x 2
0 
d f 

12 y 2 
 0
2
P
oraz
0 0 
2
d P0 f  
forma kwadratowa drugiej różniczki jest półokreślona w punkcie P0, więc
0 0
może tam istnieć ekstremum. Aby je znaleźć sprawdzamy czy:


?
f ( x, y )  f (0,0)  ( x, y )  (0,0).
Ponieważ x 4  y 4  0 ( x, y )  (0,0)

zatem w P0 istnieje minimum lokalne funkcji f.
2) f ( x, y )  x 3  y 3
Postępujemy tak jak w przykł 1).
f
 3x 2
x
f
 3y2
y
3 x 2  0
 ( x, y )  (0,0)  P0 0,0  punkt stacjonarny
 2
3 y  0
2 f
 6x
x 2
2 f
 6y
y 2
2 f
2 f
0
xy
yx
6 x 0 
2
dP f  

 0 6 y
0 0 
2
d P0 f  
  forma kwadratowa jest półokreślona w punkcie P0 
0 0 
 w P0 może istnieć ekstremum, więc wracamy do badania funkcji z definicji
5
f(0,0)=0
y
?
x3  y 3  0
y=x
Jednak dla prostej y=x funkcja f przyjmuje wartość
f ( x, x )  2 x 3
P0
czyli nie jest stałego znaku w okolicy punktu (0,0).
Mianowicie
x  0  f ( x, x )  0
x  0  f ( x, x)  0.
V*
x
Stąd wnioskujemy, że funkcja nie ma ekstremów lokalnych, ponieważ P0 był jedynym punktem
„podejrzanym” o istnienie ekstremum.
opracował Marcin Uszko
6
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz