EKSTREMA LOKALNE
Silne ekstrema lokalne
Definicja
Niech X – przestrzeń topologiczna,
f : X R,
x0 X .
z def .
1° f ma w x0 silne minimum lokalne : V * Top * ( x0 ) : f ( x0 ) f ( x) dla x V *
istnieje takie
sąsiedztwo
punktu x0
z def .
2° f ma w x0 silne maksimum lokalne : V * Top * ( x0 ) : f ( x0 ) f ( x) dla x V *
Słabe ekstrema lokalne
Definicja
1° f ma w x0 słabe minimum lokalne : V * Top * ( x0 ) : f ( x0 ) f ( x) dla x V *
2° f ma w x0 słabe maksimum lokalne : V * Top * ( x0 ) : f ( x0 ) f ( x) dla x V *
Niech * oznacza następujące ogólne założenia
U TopR n
* f :U R
x U
0
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)
Zakładamy, że zachodzi * oraz dodatkowo:
f D( x0 ) , tzn. f jest różniczkowalna w x0
i
f ma ekstremum lokalne w x0.
Teza:
d x0 f 0
(pierwsza różniczka funkcji f w punkcie x0 jest równa 0).
Uwaga
Macierz pochodnych cząstkowych odpowiadająca danej różniczce jest równa zero wtedy i tylko
wtedy, gdy wszystkie pochodne cząstkowe tworzące macierz są równe zero,
f
d x0 f 0
0 j 1,..., n
x j
Definicja
Punktem stacjonarnym funkcji różniczkowalnej f nazywamy taki punkt x0, w którym różniczka jest
równa 0; czyli d x0 f 0
1
Dygresja (przypomnienie z algebry)
Definicja
Niech X ,
- przestrzeń unormowana nad ciałem K
g : X K.
Wtedy g jest formą kwadratową, jeśli G L2 ( X , K ), G symetryczne i takie, że
g (h) G (h, h) h X .
Definicja
g – określona dodatnio g (h) 0 h X \ 0
g – określona ujemnie g (h) 0 h X \ 0
g – półokreślona dodatnio g (h) 0 h X
g – półokreślona ujemnie g (h) 0 h X
Twierdzenie Sylwestera (o określoności formy kwadratowej)
Zał: A – macierz formy kwadratowej g
A aij
i , j 1,..., n
d k det aij
, gdzie aij R dla i, j 1,..., n
i , j 1,..., k
dla k 1,..., n
minory wyznaczniki
główne podmacierzy
Teza: 1° forma g – jest określona dodatnio k 1,..., n : d k 0.
(wszytskie minory (wyznaczniki) główne są większe od zera)
2° forma g jest określona ujemnie k 1,..., n : (1) k d k 0.
Twierdzenie (o półokreśloności formy kwadratowej)
Zał: A – macierz formy kwadratowej
A aij i , j 1,...,n ,
gdzie aij R dla i, j 1,..., n
d k det aij
i , j 1,..., k
dla k 1,..., n
Teza: 1° g – półokreślona dodatnio k 1,..., n : d k 0
2° g – półokreślona ujemnie k 1,..., n : ( 1) k d k 0
Koniec dygresji
2
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)
Zał: Zachodzi * oraz
f D 2 ( x0 ) tzn. funkcja f jest dwukrotnie rózniczkowalna w punkcie x0.
2
Teza: 1° Jeśli d x0 f 0 d x0 f określona dodatnio f ma w x0 minimum lokalne.
2
2° Jeśli d x0 f 0 d x0 f określona ujemnie f ma w x0 maximum lokalne.
Dowód (szkic):
Ad. 1°,
1
f ( x0 h) f ( x0 ) d x0 f (h) d x20 f ( h) o h
2
z zał.=0
f ( x0 h) f ( x0 )
2
1 2
2
d x0 f ( h ) o h 0
2
jest określona
dodatnio 0
dowodzi się
że jest 0
więc w punkcie x0 jest ekstremum (minimum) lokalne.
Wniosek (warunek wystarczjący istnienia ekstremum lokalnego)
Zał: Zachodzi* oraz
f C 2 m U ,
j 1,...,2m 1 : d xj0 f 0.
Teza: 1° Jeśli d x20m f jest określona dodatnio, to f ma w punkcie x0 minimum lokalne.
2° Jeśli d x20m f jest określona ujemnie, to f ma w punkcie x0 maksimum lokalne.
Twierdzenie (silny warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)
Zał: Zachodzi * oraz
f D 2 ( x0 ) .
Teza: 1° f ma minimum w x0 d x0 f 0 d x20 f 0 ( tzn. d x20 f półokreślona dodatnio)
2
2
2° f ma maksimum w x0 d x0 f 0 d x0 f 0 ( d x0 f półokreślona ujemnie)
Wniosek
2
Jeśli d x0 f jest nieokreślona w punkcie stacjonarnym x0 , to wtedy w x0 nie istnieje ekstremum
lokalne funkcji f.
Uwaga
2
Z półokreśloności formy d x0 f nie wynika istnienie ekstremum lokalnego w x0 .
3
□
Przykład
Zbadać określoność drugiej różniczki funkcji f ( x, y ) x 3 xy 2 y 2 7 x 5 y 3
w punkcie P(3,1).
f
3x 2 y 7
x
f
x 4y 5
y
2 f
f
6x
2
x
x x
2 f
f
4
2
y
y y
2
f
f
f 2 f
1
xy x y
y x yx
Niech h h1 , h2 , h 0,0 . Wtedy
2 f
2 f
2 f
2
2
2
2
d f ( h) 2 ( P) h1 2
( P )h1h2 2 ( P )h2 18h1 2h1h2 4h2
x
xy
y
2
P
17h1 h1 2h1h2 h2 3h2 17 h1 3h2 h1 h2 0 bo zakładaliśmy, że h 0,0 .
2
2
2
2
2
2
0
2
0
2
Z powyższych rozważań wynika że, d P f jest formą określoną dodatnio.
Przykład
Zbadać ekstrema funkcji:
1) f x, y x 4 y 4
Pierwsza różniczka funkcji f musi być równa 0 (szukamy punktów stacjonarnych):
f
4x3
x
f
4 y3
y
4 x 3 0
( x, y ) (0,0) P0 0,0 punkt stacjonarny
3
4y 0
Obliczamy drugie pochode cząstkowe
2 f
12 x 2
2
x
2 f
12 y 2
y 2
2 f
2 f
0
xy
yx
4
Stąd
12 x 2
0
d f
12 y 2
0
2
P
oraz
0 0
2
d P0 f
forma kwadratowa drugiej różniczki jest półokreślona w punkcie P0, więc
0 0
może tam istnieć ekstremum. Aby je znaleźć sprawdzamy czy:
?
f ( x, y ) f (0,0) ( x, y ) (0,0).
Ponieważ x 4 y 4 0 ( x, y ) (0,0)
zatem w P0 istnieje minimum lokalne funkcji f.
2) f ( x, y ) x 3 y 3
Postępujemy tak jak w przykł 1).
f
3x 2
x
f
3y2
y
3 x 2 0
( x, y ) (0,0) P0 0,0 punkt stacjonarny
2
3 y 0
2 f
6x
x 2
2 f
6y
y 2
2 f
2 f
0
xy
yx
6 x 0
2
dP f
0 6 y
0 0
2
d P0 f
forma kwadratowa jest półokreślona w punkcie P0
0 0
w P0 może istnieć ekstremum, więc wracamy do badania funkcji z definicji
5
f(0,0)=0
y
?
x3 y 3 0
y=x
Jednak dla prostej y=x funkcja f przyjmuje wartość
f ( x, x ) 2 x 3
P0
czyli nie jest stałego znaku w okolicy punktu (0,0).
Mianowicie
x 0 f ( x, x ) 0
x 0 f ( x, x) 0.
V*
x
Stąd wnioskujemy, że funkcja nie ma ekstremów lokalnych, ponieważ P0 był jedynym punktem
„podejrzanym” o istnienie ekstremum.
opracował Marcin Uszko
6
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)