To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
MACIERZOWY ZAPIS RÓŻNICZEK
Niech U TopR n ,
f : U R,
x0 U
oraz załóżmy, że d x20 f .
Wtedy
2 f
d f (h , h )
( x0 )hi1h 2
j
i , j 1 xi x j
i na podstawie własności odwzorowań wieloliniowych drugiej różniczce d x20 f odpowiada macierz
2
x0
1
n
2
2
2 f
x0 f x0
2
x
xn x1
2 1
2 f
f
x0
x0
.
d x20 f : x1x2
xn x2
2
2 f
x0 f x0
xn xn
x1xn
Niech teraz f D k U oraz niech x0 U .
W celu uproszczenia zapisu wzorów określających związek między k-tą różniczką, a k-tymi
pochodnymi cząstkowymi dla k N , pomijamy indeksy wektorów h1 ,..., h k , ponieważ
są to dowolne (zmienne) wektory z przestrzeni X i wprowadzamy oznaczenia:
k
k
d x0 f h : d x0 f h ,..., , gdzie h X .
, h
h
k razy
Wtedy
f
( x0 )h j
j 1 x j
n
d x0 f ( h)
2 f
d f h
( x0 )hi h j
i , j 1 xi x j
2
x0
n
k
d x0 f ( h)
k f
x0 hi1 ...hik
i1 , i2 ,..., ik 1 xi1 ...xik
n
1
SYMBOLICZNY ZAPIS OPERATOROWY
Niech dx j oznacza przyrost zmiennej x j , tzn.
h (h1 ,..., hn ) dx j (h) : h j
j-ta współrzędne wektora h
Wtedy operator różniczki jest postaci
dx j
j 1 x j
n
d.
ta kropka
oznacza punkt
Następnie podnosimy d. do kolejnych potęg, aby uzyskać operatory wyższych różniczek
n
d.
dx j
j 1 x
j
2
n
d.
dx j
j 1 x
j
k
2
k
Przykład
Jeśli n=2, to w klasie funkcji mających k-tą pochodną operatory różniczkowe przyjmują postać
d.
dx dy
x
y
2
2
2
2
d . dx dy 2 dx 2
dxdy 2 dy 2
x
y
x
xy
y
2
k
k
k k
d . dx dy j k j dx j dy k j
x
y
j 0 j x y
k
opracował Marcin Uszko
2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)