Macierzowy i operatorowy zapis różniczek - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 504
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Macierzowy i operatorowy zapis różniczek - omówienie - strona 1 Macierzowy i operatorowy zapis różniczek - omówienie - strona 2

Fragment notatki:

MACIERZOWY ZAPIS RÓŻNICZEK
Niech U  TopR n ,
f : U  R,
x0  U
oraz załóżmy, że  d x20 f .
Wtedy
2 f
d f (h , h )  
( x0 )hi1h 2
j
i , j 1 xi x j
i na podstawie własności odwzorowań wieloliniowych drugiej różniczce d x20 f odpowiada macierz
2
x0
1
n
2
2
 2 f

x0    f x0 

2
x
xn x1
 2 1

2 f
  f
x0 
x0 
.
d x20 f :  x1x2
 xn x2



 

2
 2 f

x0    f x0 

xn xn
 x1xn





Niech teraz f  D k U  oraz niech x0  U .
W celu uproszczenia zapisu wzorów określających związek między k-tą różniczką, a k-tymi
pochodnymi cząstkowymi dla k  N , pomijamy indeksy wektorów h1 ,..., h k , ponieważ
są to dowolne (zmienne) wektory z przestrzeni X i wprowadzamy oznaczenia:
k
k
d x0 f h  : d x0 f h ,..., , gdzie h  X .
,  h
h 
k razy
Wtedy
f
( x0 )h j
j 1 x j
n
d x0 f ( h)  
2 f
d f h   
( x0 )hi h j
i , j 1 xi x j
2
x0
n

k
d x0 f ( h) 
k f
x0 hi1 ...hik

i1 , i2 ,..., ik 1 xi1 ...xik
n
1
SYMBOLICZNY ZAPIS OPERATOROWY
Niech dx j oznacza przyrost zmiennej x j , tzn.
 h  (h1 ,..., hn ) dx j (h) : h j

j-ta współrzędne wektora h
Wtedy operator różniczki jest postaci

dx j
j 1 x j
n
d.  

ta kropka
oznacza punkt
Następnie podnosimy d. do kolejnych potęg, aby uzyskać operatory wyższych różniczek
 n 

d.   
dx j 
 j 1 x

j



2
 n 

d.   
dx j 
 j 1 x

j


k
2
k
Przykład
Jeśli n=2, to w klasie funkcji mających k-tą pochodną operatory różniczkowe przyjmują postać
d. 


dx  dy
x
y
2



2

2
2
d .   dx  dy   2 dx  2
dxdy  2 dy 2
 x

y 
x
xy
y


2
k
k


 k  k

d .   dx  dy      j k  j dx j dy k  j
 x
 
y 
j  0  j  x y


k
opracował Marcin Uszko
2
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz