To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
EKSTREMA GLOBALNE
Definicja
Niech
f : U R , gdzie U R n
oraz niech
P0 będzie pewnym punktem zbioru U, P0 U .
Wtedy
f P0 – wartość największa funkcji f : P U
f P0 – wartość najmniejsza funkcji f
:
P U
f P f P0
f P f P0
Definicja
Funkcja f ma w P0 ekstremum globalne, jeśli f P0 jest wartością największą lub wartością
najmniejszą funkcji f.
Uwaga
Ekstremum lokalne może być ekstremum globalnym.
I. Niech U – obszar w R n , czyli U TopR n .
Jeśli f ma ekstremum globalne w P0 , to f ma w P0 słabe ekstremum lokalne, a zatem
ekstremów globalnych będziemy poszukiwać w tych punktach, w których istnieją słabe
ekstrema lokalne.
II. Niech U - obszar domknięty, tzn. U - domknięcie obszaru U.
Wtedy
P0 U P0 int U P0 U
wnętrze
obszaru
brzeg
obszaru
Zatem f ma ekstremum globalne w P0
f ma ekstremum lokalne w int U
lub P0 U
Jeśli dodatkowo przyjmiemy założenie:
f C U ,
to na podstawie tw. Weierstrassa funkcja f osiąga swoje kresy
istnieje wartość największa i wartość najmniejsza funkcji f
wystarczy wyznaczyć punkty stacjonarne funkcji f we wnętrzu int U oraz na brzegu U i
bez badania określoności drugiej różniczki porównać wartości funkcji w tych punktach.
1
Przykład
2
2
Wyznaczyć ekstrema globalne funkcji f x, y x y w obszarze domkniętym
D x, y R 2 : x 2 y 2 1
y
1
D
int D
1
x
f C D ekstremum globalne
I. Wyznaczamy punkty stacjonarne we wnętrzu obszaru int D x, y R 2 : x 2 y 2 1 .
Pochodne cząstkowe muszą być równe 0,
f
x 2 x 0
x 0
P0 (0,0) - punkt stacjonarny, P0 U
f
y 0
2y 0
y
2
2
2
II. Badamy brzeg obszaru D x, y R : x y 1
2
2
2
2
Tworzymy funkcję Lagrange'a x, y x y x y 1
Warunek konieczny dla funkcji Lagrange'a:
x 0
P 0,1
1
P2 0,1
0
P3 1,0
y
x2 y 2 1
P4 1,0
III. Porównujemy wartości funkcji w punktach P0 – P4 .
f P0 0
f P f P2 1
1
f P3 f P4 1
Odp.
Funkcja osiąga wartość największą równą 1 w punktach P3 i P4 oraz wartość najmniejszą
równą -1 w punktach P oraz P2 .
1
2
Przykład
Aby wyznaczyć ekstrema globalne funkcji określonej w obszarze domkniętym D, którego
brzeg jest łamaną,
y
K1
M1
M2
K5
M5
K2
D
M3
K4
K3
x
M4
badamy:
I. int D
II. D K1 K 2 K 3 K 4 K 5
Funkcję zacieśniamy do poszczególnych krzywych i badamy we wnętrzach tych krzywych
1) int K1
2) int K 2
5) intK 5
III. Badamy “brzeg brzegu” - wystarczy podać punkty wspólne krzywych K1 , , K 5 :
M 1 , , M 5
IV. Porównujemy wartości funkcji we wszystkich punktach wyznaczonych w częściach
I, II, III, i wybieramy te w których funkcja przyjmuje wartość największą lub najmniejszą.
opracował Mateusz Targosz
3
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)