1 Algebra z geometria analityczna MAP1015, MAP1016, MAP1017 Zadania dodatkowe (utrwalajace) Zadania z list dodatkowych zawieraja glownie zadania rachunkowe, ulatwiajace utrwalenie materialu poznanego na wykladzie. Sa one o roznym ...
Zmiana bazy przestrzeni wektorowej Definicja 1. ( B e B ) ( ) 1 2 1 2 , , , ( , ,..., ) ' ', ',..., ' n n X K e e e e e + ⋅ = = - nowa baza - stara baza - przestrzeń wektorowa nad ciałem K Macierzą przejścia P od B do B’ nazywamy macierz odwzorowania Identycznościowego ...
1 Wykład 3 Grupy ☼ Definicja Grup ą nazywamy zbiór G z działaniem •, gdy są spełnione następujące warunki: 1) działanie • jest łączne; 2) istnieje element neutralny e działania • taki, e e•a=a•e dla ∀a ∈G; 3) ka dy element a ∈G jest odwracalny w G, tzn. istnieje element b∈G...
1 Podgrupa ☼ Definicja. Niepusty podzbiór H grupy G =(X, •) nazywa się podgrup ą grupy G , jeśli H jest grupą względem działania •, inaczej mówiąc H jest podgrupą G , jeśli spełnione są następujące warunki: 1. je eli a , b ∈ H , to a • b ∈ H ; 2....
1 Wykład 5 Rz ą d elementu grupy Rz ą dem elementu x grupy G z elementem neutralnym e nazywamy taką najmniejszą liczbę naturalną n, e x n =e r(x)=n Je eli taka...
1 Wykład 6 Homomorfizm, izomorfizm grup ☼ Definicja. Homomorfizmem grupy ( G , •) w grupę ( H , °) nazywa się takie odwzorowanie ϕ: G →H, które dla dowolnych a , b ∈ G spełnia warunek: ϕ( a • b ) = ϕ( a ) ° ϕ( b ) Homomorfizm ϕ grupy ( G , •) ...
1 Wykład 7 Twierdzenie (Cayley) Ka da grupa (G, ⋅) jest izomorficzna z podgrupą grupy symetrycznej (S(G), °). Dowód. Dla ka dego a ∈ G określimy funkcje fa : G → G tak e fa(x) = a⋅x. Poka emy, e fa jest bijekcją. Dla ka dego y ∈ G mamy fa(a -1 ⋅y) = a⋅(a-1 ⋅y) = ...
1 Wykład 8 Definicja Półgrup ą nazywamy zbiór R z jednym działaniem binarnym •, gdy działanie • jest łączne. Monoidem nazywamy półgrupę M w której istnieje element neutralny, ij. istnieje element e ∈M taki a•e = e•a=a ...
Wykład 9 Wielomiany jednej zmiennej ☼ Definicja Wielomianem stopnia n ∈ N ∪{0} nad pierścieniem K nazywamy funkcję P : K → K określoną wzorem: P ( x ) = anx n + a n -1 x n -1+… + a 1 x 1+ a 0, gdzie ai ∈ K dl...
Wykład 10 Równania diofantyczne Równanie postaci P(x1, x2,…,xn)=0, gdzie P – wielomian od n zmiennych x1, x2,…,xn z całkowitymi wskaźnikami, nazywamy równaniem diofantycznym. Równanie diofantyczne 2-x zmiennych x i y ma postać: ...
