Algebra, grupy - wykład 3

Nasza ocena:

3
Pobrań: 35
Wyświetleń: 742
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Algebra, grupy - wykład 3 - strona 1 Algebra, grupy - wykład 3 - strona 2 Algebra, grupy - wykład 3 - strona 3

Fragment notatki:


  1 Wykład 3    Grupy    ☼  Definicja   Grup ą nazywamy zbiór G z działaniem •, gdy są spełnione następujące  warunki:  1) działanie • jest łączne;  2) istnieje  element neutralny  e działania • taki,  e  e•a=a•e  dla ∀a ∈G;  3) ka dy element  a ∈G jest  odwracalny  w G, tzn. istnieje element b∈G taki,  e  a•b=b•a=e.    ☼  Definicja.  Grupa    G =(X,  •)  nazywa  się   przemienn ą  lub   Abelow ą,  jeśli  działanie  •  jest  przemienne.     Przykłady.  1.  Z  - zbiór liczb całkowitych z działaniem dodawania +  2.  Q  - zbiór liczb wymiernych z działaniem dodawania +  3.  R  - zbiór liczb rzeczywistych z działaniem dodawania +  4.  R \{0} - zbiór liczb rzeczywistych  z działaniem mno enia.    5.  Z m = { [0], [1], …, [m-1]}  - zbiór ilorazowy klas kongruencji modulo m z  działaniem dodawania:    [a] + [b] = [a+b]     1) ([a]+[b]) + [c] = [a] + ([b]+[c])   2) [a]+[0]=[0]+[a]=[a]  3) [a]+[-a] = [-a]+[a]=[0]     6.   Z p = { [0], [1], …, [p-1]} (p – liczba pierwsza) -    zbiór ilorazowy klas kongruencji modulo p z działaniem mno enia:      [a]⋅[b] = [ab]       1)  ([a][b])[c]=[a]([b][c])     2)  [a][1]=[1][a]=[a]     3)  [a][x] =[1],            gdzie  ax ≡ 1 (mod p), tzn.  ax = 1 + py.            Poniewa   NWD(a, p) =1, to  ax - py=1 ma rozwiązanie.        2 Twierdzenie 3.1.  1. Element neutralny w dowolnej grupie jest wyznaczony jednoznacznie.   2.  W  grupie  dowolny  element   x   ma  dokładnie  jeden  element  odwrotny,  który  będziemy oznaczali  x -1.     Dowód.  Wynika z twierdzeń 2.1 oraz 2.2.    ◘  Twierdzenie 3.2.  Dla dowolnej grupy  G = {X, •} i  dowolnych elementów  a ,  x ,  y  ∈  G  zachodzi  prawo   jednostronnego skracania:  jeśli  a • x = a • y , to  x = y ;  jeśli  x • a = y • a , to  x = y .    Dowód.    a -1  - element odwrotny do  a  ∈ G   a • x = a • y .   a -1• ( a • x )=  a -1• ( a • y )  ⇒ ( a -1•  a )• x =( a -1•  a ) • y  ⇒   e • x =  e • y  ⇒   x =  y.     ◘  Twierdzenie 3.3.  Dla dowolnej grupy  G = {X, •} i  dowolnych elementów  a , b  ∈ X zachodzi:                                        ( a • b ) -1 =  b -1 • a -1.          (1.1)                                                     Dowód.     e  - element neutralny grupy  G .   ( b -1 • a -1 ) • ( a • b ) =  b -1 • ( a -1  •  a ) • b

(…)

…, •) nazywa się elementem skończonego rzędu, je eli
istnieje naturalna liczba n, taka e an = e. Najmniejsza liczba naturalna z takiej
własnością nazywa się rzędem elementu a i oznaczamy przez r(a ).
Jeśli grupa G ma m elementów, to r(a ) ≤ m.
Grupa cykliczna
☼ Definicja.
Grupa G=(X, •) nazywa się cykliczną, jeśli istnieje taki element a∈G, e
ka dy element grupy G jest potęgą elementu a. Element a nazywa się
generatorem grupy G.
◙ Przykłady
1. (Z, +) - nieskończona grupa cykliczna, generatorem której jest liczba 1.
4
2. Grupa G={e,a,b,c} z działaniem mno enia zapisanego w postaci następującej
tabeli:
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
b
c
e
b
b
c
e
a
c
c
e
a
b
jest grupą cykliczną rzędu 4.
Grupę cykliczną rzędu n oznaczamy przez Cn.
Jeśli a jest generatorem grupy Cn, to
gdzie an = e.
Cn = { e,a,a2, ..., an-1 },
Element…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz