1 Wykład 3 Grupy ☼ Definicja Grup ą nazywamy zbiór G z działaniem •, gdy są spełnione następujące warunki: 1) działanie • jest łączne; 2) istnieje element neutralny e działania • taki, e e•a=a•e dla ∀a ∈G; 3) ka dy element a ∈G jest odwracalny w G, tzn. istnieje element b∈G taki, e a•b=b•a=e. ☼ Definicja. Grupa G =(X, •) nazywa się przemienn ą lub Abelow ą, jeśli działanie • jest przemienne. Przykłady. 1. Z - zbiór liczb całkowitych z działaniem dodawania + 2. Q - zbiór liczb wymiernych z działaniem dodawania + 3. R - zbiór liczb rzeczywistych z działaniem dodawania + 4. R \{0} - zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mno enia. 5. Z m = { [0], [1], …, [m-1]} - zbiór ilorazowy klas kongruencji modulo m z działaniem dodawania: [a] + [b] = [a+b] 1) ([a]+[b]) + [c] = [a] + ([b]+[c]) 2) [a]+[0]=[0]+[a]=[a] 3) [a]+[-a] = [-a]+[a]=[0] 6. Z p = { [0], [1], …, [p-1]} (p – liczba pierwsza) - zbiór ilorazowy klas kongruencji modulo p z działaniem mno enia: [a]⋅[b] = [ab] 1) ([a][b])[c]=[a]([b][c]) 2) [a][1]=[1][a]=[a] 3) [a][x] =[1], gdzie ax ≡ 1 (mod p), tzn. ax = 1 + py. Poniewa NWD(a, p) =1, to ax - py=1 ma rozwiązanie. 2 Twierdzenie 3.1. 1. Element neutralny w dowolnej grupie jest wyznaczony jednoznacznie. 2. W grupie dowolny element x ma dokładnie jeden element odwrotny, który będziemy oznaczali x -1. Dowód. Wynika z twierdzeń 2.1 oraz 2.2. ◘ Twierdzenie 3.2. Dla dowolnej grupy G = {X, •} i dowolnych elementów a , x , y ∈ G zachodzi prawo jednostronnego skracania: jeśli a • x = a • y , to x = y ; jeśli x • a = y • a , to x = y . Dowód. a -1 - element odwrotny do a ∈ G a • x = a • y . a -1• ( a • x )= a -1• ( a • y ) ⇒ ( a -1• a )• x =( a -1• a ) • y ⇒ e • x = e • y ⇒ x = y. ◘ Twierdzenie 3.3. Dla dowolnej grupy G = {X, •} i dowolnych elementów a , b ∈ X zachodzi: ( a • b ) -1 = b -1 • a -1. (1.1) Dowód. e - element neutralny grupy G . ( b -1 • a -1 ) • ( a • b ) = b -1 • ( a -1 • a ) • b
(…)
…, •) nazywa się elementem skończonego rzędu, je eli
istnieje naturalna liczba n, taka e an = e. Najmniejsza liczba naturalna z takiej
własnością nazywa się rzędem elementu a i oznaczamy przez r(a ).
Jeśli grupa G ma m elementów, to r(a ) ≤ m.
Grupa cykliczna
☼ Definicja.
Grupa G=(X, •) nazywa się cykliczną, jeśli istnieje taki element a∈G, e
ka dy element grupy G jest potęgą elementu a. Element a nazywa się
generatorem grupy G.
◙ Przykłady
1. (Z, +) - nieskończona grupa cykliczna, generatorem której jest liczba 1.
4
2. Grupa G={e,a,b,c} z działaniem mno enia zapisanego w postaci następującej
tabeli:
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
b
c
e
b
b
c
e
a
c
c
e
a
b
jest grupą cykliczną rzędu 4.
Grupę cykliczną rzędu n oznaczamy przez Cn.
Jeśli a jest generatorem grupy Cn, to
gdzie an = e.
Cn = { e,a,a2, ..., an-1 },
Element…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)