Grupy ilorazowe - zadania

Zestaw 8 Grupy ilorazowe 1. Wyznaczyć warstwy grupy  Z 9 względem podgrupy  H  = { 0 ,  3 ,  6 } . 2. Niech  H  będzie podgrupą grupy  G . Wykaż, że dla każdego  a ∈ G zachodzi równość  aH  =  Ha  wtedy i tylko wtedy, gdy ∀a ∈ G, ∀h ∈ H mamy  aha− 1 ∈ H . (Uwaga: Podgrupę  H  grupy  G  nazywamy wówczas dzielnikiem normalnym grupy G  i oznaczamy przez  H ¡  G ). 3. Udowodnij, że centrum grupy  G , definiowane jako  Z ( G ) = {g ∈ G  : ∀a ∈ G, ag  =  ga}  jest dzielnikiem normalnym grupy  G . 4. Niech funkcja  φ  :  G → G′  będzie homomorfizmem grup. Udowodnić, że jeśli  H′ ¡  G′ , to  φ− 1( H′ ) ¡  G . 5. Niech grupa  G  działa w zbiorze  X . Udowodnij, że zbiór ∩ x ∈X  Stab( x ) jest dzielnikiem normalnym w  G . 6. Wykazać, że jeśli  H  jest dzielnikiem normalnym grupy  G , to  G/H  jest grupą. 7. Wyznaczyć elementy grupy ilorazowej  Z / 6 Z  oraz utworzyć tabelkę dzia- łania w tej grupie. 8. Wyznaczyć elementy grupy ilorazowej  Z ∗ n/H  oraz utworzyć tabelkę działania w tej grupie, jeśli: (a)  n  = 21,  H  = { 1 ,  8 ,  13 ,  20 } (b)  n  = 7,  H  = { 1 ,  2 ,  4 } Czy  Z ∗ n/H  jest cykliczna? 9. Niech  X  będzie rodziną wszystkich podgrup grupy  G . Każdemu ele- mentowi  g ∈ G  niech będzie przyporządkowane przekształcenie  φg  w ten sposób, że  φg ( H ) =  gHg− 1 dla każdego  H ∈ X . Sprawdzić, że przy- porządkowanie to określa działanie grupy  G  w zbiorze  X . Dowieść, że podgrupa  H  grupy  G  jest punktem stałym tego działania wtedy i tylko wtedy, gdy  H ¡  G . 1 ... zobacz całą notatkę