Cichacz. Notatka składa się z 1 strony.
Zestaw 8 Grupy ilorazowe 1. Wyznaczyć warstwy grupy Z 9 względem podgrupy H = { 0 , 3 , 6 } . 2. Niech H będzie podgrupą grupy G . Wykaż, że dla każdego a ∈ G zachodzi równość aH = Ha wtedy i tylko wtedy, gdy ∀a ∈ G, ∀h ∈ H mamy aha− 1 ∈ H . (Uwaga: Podgrupę H grupy G nazywamy wówczas dzielnikiem normalnym grupy G i oznaczamy przez H ¡ G ). 3. Udowodnij, że centrum grupy G , definiowane jako Z ( G ) = {g ∈ G : ∀a ∈ G, ag = ga} jest dzielnikiem normalnym grupy G . 4. Niech funkcja φ : G → G′ będzie homomorfizmem grup. Udowodnić, że jeśli H′ ¡ G′ , to φ− 1( H′ ) ¡ G . 5. Niech grupa G działa w zbiorze X . Udowodnij, że zbiór ∩ x ∈X Stab( x ) jest dzielnikiem normalnym w G . 6. Wykazać, że jeśli H jest dzielnikiem normalnym grupy G , to G/H jest grupą. 7. Wyznaczyć elementy grupy ilorazowej Z / 6 Z oraz utworzyć tabelkę dzia- łania w tej grupie. 8. Wyznaczyć elementy grupy ilorazowej Z ∗ n/H oraz utworzyć tabelkę działania w tej grupie, jeśli: (a) n = 21, H = { 1 , 8 , 13 , 20 } (b) n = 7, H = { 1 , 2 , 4 } Czy Z ∗ n/H jest cykliczna? 9. Niech X będzie rodziną wszystkich podgrup grupy G . Każdemu ele- mentowi g ∈ G niech będzie przyporządkowane przekształcenie φg w ten sposób, że φg ( H ) = gHg− 1 dla każdego H ∈ X . Sprawdzić, że przy- porządkowanie to określa działanie grupy G w zbiorze X . Dowieść, że podgrupa H grupy G jest punktem stałym tego działania wtedy i tylko wtedy, gdy H ¡ G . 1
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)