1 Wykład 5 Rz ą d elementu grupy Rz ą dem elementu x grupy G z elementem neutralnym e nazywamy taką najmniejszą liczbę naturalną n, e x n =e r(x)=n Je eli taka liczba nie istnieje, to rząd elementu x jest nieskończony, r(x)= ∞ Przykład Znajdź rząd elementu a= 3 1 2 3 2 1 grupy S3. a 2= 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 2 1 = 3 2 1 3 2 1 r(a) =2 Twierdzenie 5.1. Rząd dowolnego elementu grupy G jest równy rzędowi podgrupy generowanej przez ten element. Dowód. x ∈ G, r(x)=n, H= {x, x 2, …, xn=e} – podgrupa G generowana przez element x |H|=n Twierdzenie 5.2. Jeśli x ∈ G, r(x)=n, to x k =e ⇔ n | k Dowód. k= qn+r, 0 ≤ r
(…)
… = a-1•H, poniewa (a-1•H) ° (a•H) = (a-1•a) • H = e•H oraz
(a•H) ° (a-1•H) = (a-1•a) •H = e•H.
Definicje
Grupę (G/H, °) nazywamy grupą ilorazową.
5
Przykład
Podgrupa (3Z, +) 0 (Z, +)
Grupa ilorazowa (Z/3Z, ⊕ ) = { 3Z, 1+3Z, 2+3Z }
⊕
3Z
1+3Z
2+3Z
3Z
3Z
1+3Z
2+3Z
1+3Z
1+3Z
2+3Z
3Z
2+3Z
2+3Z
3Z
1+3Z
Grupę G, której jedynymi podgrupami normalnymi są {e} oraz G, nazywamy
grupa prostą.
Wniosek
Ka da grupa…
…] = [x]-1.
|Zm*| = ϕ(m)
Twierdzenie 5.7. (Euler)
Jeśli NWD(n, m) = 1, to
nϕ(m) ≡ 1 (mod m)
Dowód.
|Zm*| = ϕ(m)
[n] ϕ(m) = [1]
[n] ϕ(m) = [n ϕ(m) ] = [1] ⇒
nϕ(m) ≡ 1 (mod m)
Twierdzenie 5.8. (Fermaut)
Jeśli p jest liczba pierwszą, to
np-1 ≡ 1 (mod p)
Dzielnik normalny. Grupy ilorazowe
☼ Definicja.
Podgrupę (H, •) grupy (G, •) nazywamy dzielnikiem normalnym (lub
podgrupą normalną) grupy (G, •), gdy dla ∀g∈G zachodzi równość H•g =
g•H. Zapisujemy H 0 G.
Twierdzenie 5.8.
Podgrupa H grupy G jest podgrupą normalną grupy G wtedy i tylko wtedy gdy
g-1hg ∈ H dla dowolnych elementów g ∈G i h ∈H.
Dowód.
1. Załó my, e H•g=g•H. Wówczas dla dowolnego elementu h ∈H, h•g ∈
H•g=gH, chyli h•g=g•h1 dla h1 ∈ H. Stąd g-1•h•g=g-1 •g•h1=h1 ∈ H.
4
2. Z drugiej strony, załó my, e g-1 •h•g ∈ H dla dowolnych elementów
g ∈G…
….
Rząd dowolnego elementu grupy G jest równy rzędowi podgrupy generowanej
przez ten element.
Dowód.
x ∈ G, r(x)=n,
H= {x, x2, …, xn=e} – podgrupa G generowana przez element x
|H|=n
Twierdzenie 5.2.
Jeśli x ∈ G, r(x)=n, to
xk =e ⇔ n | k
Dowód.
k= qn+r, 0 ≤ r < n
xk=xqn+r= (xn)q ⋅xr= xr ⇒ r=0 ⇒ k= qn
Twierdzenie 5.3.
Dowolna podgrupa H grupy cyklicznej G jest grupą cykliczną.
Dowód.
Niech G = 〈g〉, H ⊆ G
2…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)