pytania na zaliczenie algebra cz 4

Cichacz. Notatka składa się z 1 strony.
Zestaw 4 Podgrupy 1. Udowodnij, że niepusty podzbiór  H  grupy  G  nazywamy podgrupą grupy G , jeśli spełniony jest warunek:  ∀a,b∈Hab− 1  ∈ H 2. Udowodnij, że każda podgrupa grupy  Z  jest w postaci  n Z , gdzie  n ∈ N  ∪ { 0 } . 3. Dla każdego  a ∈  Z ∗ 9 wyznaczyć podgrupę  a  i określić rz  a . Czy  Z ∗ 9 jest grupą cykliczną? 4. Dla każdego  a ∈  Z ∗ 14 wyznaczyć podgrupę a  i określić rz  a . Czy  Z ∗ 14 jest grupą cykliczną? 5. Udowodnić, że każda grupa, której rząd jest liczbą pierwszą, jest cykliczna. 6. Udowodnić, że jeśli rz  a  =  n  i  m ∈  Z , to  am  =  e  wtedy i tylko wtedy gdy  m|n . 7. Udowodnić, że jeśli rz  G  =  n , to dla każdego  a ∈ G  zachodzi  an  =  e . 8. Jeśli rz  a 5 = 12, to jakie są możliwości dla rz  a ? 9. Znaleźć wszystkie podgrupy  Z 6. 10. Czy zbiór  Z 2 jest podgrupą grupy  Z 4? 11. Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy  Z ∗ 8. 12. Niech  D  := R  \ {− 1; 0 }  i niech:  f 1( x ) =  x ,  f 2( x ) =  −x− 1 x ,  f 3( x ) =  − 1 x +1 , f 4( x ) = 1 x  ,  f 5( x ) = −x x +1 ,  f 6( x ) =  −x −  1. Niech  G  =  {f 1 , f 2 , . . . , f 6 } . (a) Wykazać, że ( G, ◦ ) jest grupą. Zbudować tabelkę działania  ◦ . (b) Wykazać, że  H  =  {f 1 , f 4 }  oraz  F  =  {f 1 , f 2 , f 3 }  są podgrupami grupy  H . (c) Wyznaczyć warstwy grupy  G  względem podgrup  H  i  F  . 1 ... zobacz całą notatkę