Algebra, homomorfizm - wykład 6

Nasza ocena:

3
Pobrań: 98
Wyświetleń: 1001
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Algebra, homomorfizm - wykład 6 - strona 1 Algebra, homomorfizm - wykład 6 - strona 2 Algebra, homomorfizm - wykład 6 - strona 3

Fragment notatki:


  1 Wykład 6    Homomorfizm, izomorfizm grup    ☼  Definicja.  Homomorfizmem  grupy         ( G ,  •)        w  grupę    ( H ,  °)    nazywa  się  takie  odwzorowanie  ϕ: G →H,  które  dla dowolnych  a , b ∈ G spełnia warunek:  ϕ(  a • b ) = ϕ( a ) ° ϕ( b )       Homomorfizm   ϕ  grupy  ( G , •)  w  grupę  ( H , °) nazywamy  monomorfizmem ,  gdy odwzorowanie    ϕ:  G  →H    jest  injekcją,  tzn.  z  równości  ϕ( a 1)  =  ϕ( a 2)  wynika   a 1  =   a 2.    Homomorfizm  ϕ  nazywamy  epimorfizmem , gdy odwzorowanie  ϕ: G →H jest  surjkcją, tzn. z dla ka dego elementu  y   ∈ H istnieje element  x  ∈ G dla którego   ϕ(  x ) =  y .     ◘  Twierdzenie 6.1.  Jeśli  ϕ  jest  homomorfizmem  grupy  ( G ,  •)  w  grupę                ( H ,  °)  z  elementem  neutralnymi  e 1   i  e 2 odpowiednio, to dla     ∀ a ∈ G.   ϕ(  e 1)=  e 2   i     ϕ(  a -1) = ϕ( a )-1      Dowód.   ϕ( a ) = ϕ( a •  e 1) = ϕ( a ) ° ϕ( e 1)    oraz    ϕ( a ) =ϕ( e 1• a ) = =ϕ( e 1) ° ϕ( a ),   a więc  ϕ( e 1)=  e 2.      Dla  ∀ a ∈ G    e2  =ϕ( e 1) =  ϕ( a • a -1) = ϕ( a ) ° ϕ(  a -1)    oraz    e 2   = ϕ(  e 1) =  ϕ(  a -1• a ) = ϕ(  a -1) ° ϕ(  a ),   a więc  ϕ(  a -1) = ϕ( a )-1. ♦    ☼  Definicja.  Je eli    ϕ:   G   →   H   jest  homomorfizmem  grup  i   e 2    jest  elementem  neutralnym  grupy  H , to zbiór  Ker  ϕ = { a ∈ G |  ϕ(a) = e2}  nazywamy  j ą drem homomorfizmu   ϕ.     2     Twierdzenie 6.2.   Jądro homomorfizmu   ϕ:  G  →  H  jest podgrupą grupy  G .     Dowód.   Niech   a 1,   a 2  ∈  Ker  ϕ,  wtedy  ϕ( a 1)  =  ϕ( a 2)  =   e 2.  Poniewa   ϕ  jest  homomorfizmem, to  ϕ( a 1• a 2) = ϕ( a 1)  o ϕ( a 2) =  e 2    o  e 2 =  e 2 , skąd   a 1• a 2 ∈ Ker ϕ.  Jeśli  a  ∈ Ker ϕ, to zgodnie z  twierdzeniem 1.13 ϕ( a -1) = ϕ( a -1) = ϕ( a )-1 =  1 2 − e  =  e 2 , skąd  a -1 ∈ Ker ϕ.  Poniewa  z twierdzenia 6.1 mamy  e 1 ∈ Ker ϕ, to na mocy  definicji  Ker  ϕ jest podgrupa grupy  G .       ☼  Definicja.  Je eli   ϕ:  G  →  H  jest homomorfizmem grup, to zbiór  Im  ϕ = { h ∈ H |  ∃a ∈ G,  h =ϕ(a) }  nazywamy  obrazem homomorfizmu   ϕ.     Twierdzenie 6.3.  Obraz homomorfizmu   ϕ:  G  →  H  jest podgrupą grupy  H .     Dowód.      Niech  

(…)

… i niech a ∈ Ker ϕ. Wtedy ϕ(a) = e2.
Poniewa e2 = ϕ(e1), to ϕ(a) = ϕ(e1), czyli a = e1. Stąd mamy Ker ϕ = e1.
3
2. Własność ta wynika natychmiast z definicji obrazu Im ϕ. ♦
Twierdzenie 6.5.
Jeśli H 0 G, tz. H jest podgrupą normalną grupy G z działaniem •, to
przekształcenie
ϕ: G → G/H
określone dla ∀a∈ G wzorem
ϕ(a) = a• H
jest homomorfizmem grupy (G, •) w grupę (G/H, °) oraz
Ker ϕ = H i Imϕ = G/H.
Dowód.
1) ϕ…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz