To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1 Wykład 6 Homomorfizm, izomorfizm grup ☼ Definicja. Homomorfizmem grupy ( G , •) w grupę ( H , °) nazywa się takie odwzorowanie ϕ: G →H, które dla dowolnych a , b ∈ G spełnia warunek: ϕ( a • b ) = ϕ( a ) ° ϕ( b ) Homomorfizm ϕ grupy ( G , •) w grupę ( H , °) nazywamy monomorfizmem , gdy odwzorowanie ϕ: G →H jest injekcją, tzn. z równości ϕ( a 1) = ϕ( a 2) wynika a 1 = a 2. Homomorfizm ϕ nazywamy epimorfizmem , gdy odwzorowanie ϕ: G →H jest surjkcją, tzn. z dla ka dego elementu y ∈ H istnieje element x ∈ G dla którego ϕ( x ) = y . ◘ Twierdzenie 6.1. Jeśli ϕ jest homomorfizmem grupy ( G , •) w grupę ( H , °) z elementem neutralnymi e 1 i e 2 odpowiednio, to dla ∀ a ∈ G. ϕ( e 1)= e 2 i ϕ( a -1) = ϕ( a )-1 Dowód. ϕ( a ) = ϕ( a • e 1) = ϕ( a ) ° ϕ( e 1) oraz ϕ( a ) =ϕ( e 1• a ) = =ϕ( e 1) ° ϕ( a ), a więc ϕ( e 1)= e 2. Dla ∀ a ∈ G e2 =ϕ( e 1) = ϕ( a • a -1) = ϕ( a ) ° ϕ( a -1) oraz e 2 = ϕ( e 1) = ϕ( a -1• a ) = ϕ( a -1) ° ϕ( a ), a więc ϕ( a -1) = ϕ( a )-1. ♦ ☼ Definicja. Je eli ϕ: G → H jest homomorfizmem grup i e 2 jest elementem neutralnym grupy H , to zbiór Ker ϕ = { a ∈ G | ϕ(a) = e2} nazywamy j ą drem homomorfizmu ϕ. 2 Twierdzenie 6.2. Jądro homomorfizmu ϕ: G → H jest podgrupą grupy G . Dowód. Niech a 1, a 2 ∈ Ker ϕ, wtedy ϕ( a 1) = ϕ( a 2) = e 2. Poniewa ϕ jest homomorfizmem, to ϕ( a 1• a 2) = ϕ( a 1) o ϕ( a 2) = e 2 o e 2 = e 2 , skąd a 1• a 2 ∈ Ker ϕ. Jeśli a ∈ Ker ϕ, to zgodnie z twierdzeniem 1.13 ϕ( a -1) = ϕ( a -1) = ϕ( a )-1 = 1 2 − e = e 2 , skąd a -1 ∈ Ker ϕ. Poniewa z twierdzenia 6.1 mamy e 1 ∈ Ker ϕ, to na mocy definicji Ker ϕ jest podgrupa grupy G . ☼ Definicja. Je eli ϕ: G → H jest homomorfizmem grup, to zbiór Im ϕ = { h ∈ H | ∃a ∈ G, h =ϕ(a) } nazywamy obrazem homomorfizmu ϕ. Twierdzenie 6.3. Obraz homomorfizmu ϕ: G → H jest podgrupą grupy H . Dowód. Niech
(…)
… i niech a ∈ Ker ϕ. Wtedy ϕ(a) = e2.
Poniewa e2 = ϕ(e1), to ϕ(a) = ϕ(e1), czyli a = e1. Stąd mamy Ker ϕ = e1.
3
2. Własność ta wynika natychmiast z definicji obrazu Im ϕ. ♦
Twierdzenie 6.5.
Jeśli H 0 G, tz. H jest podgrupą normalną grupy G z działaniem •, to
przekształcenie
ϕ: G → G/H
określone dla ∀a∈ G wzorem
ϕ(a) = a• H
jest homomorfizmem grupy (G, •) w grupę (G/H, °) oraz
Ker ϕ = H i Imϕ = G/H.
Dowód.
1) ϕ…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)