Algebra - Monoid

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 1106
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Algebra - Monoid - strona 1 Algebra - Monoid - strona 2 Algebra - Monoid - strona 3

Fragment notatki:

  1 Wykład 8     Definicja   Półgrup ą    nazywamy zbiór R z jednym działaniem binarnym  •, gdy   działanie  • jest łączne.  Monoidem  nazywamy półgrupę M w której istnieje element neutralny, ij.  istnieje element e ∈M taki  a•e = e•a=a dla ∀a∈M.  Grup ą nazywamy monoid G w którym ka dy element jest odwracalny, ij.   dla ka dego g∈G istnieje element g -1 ∈G taki  g•g-1 = g-1•g=e.    Przykłady  1.  (Z+, +) jest półgrupą, ale nie jest monoidem.  2.  (N, +) oraz (N, ⋅) są monoidami  3.  (Z, +) oraz (Z, ⋅) są monoidami  4.  Zbiór przekształceń dowolnego zbioru jest monoidem.    Pier ś cienie    ☼  Definicja   Pier ś cieniem  nazywamy zbiór R z dwoma działaniami: dodawaniem + i  mno eniem   •, gdy są spełnione następujące warunki:  1) zbiór R z działaniem + jest grupą przemienną;  2) działanie  • jest łączne;  3) działanie  • jest rozdzielne względem dodawania:  a •(b+c)=a•b+a•c  (a+b)  •c=a•c+b•c       Pierścień  P z działaniem mno enia  • jest  przemienny , jeśli działanie mno enia  • jest przemienne.       Pierścień  P nazywamy  pier ś cieniem z jedynk ą, jeśli P  ≠{0} oraz istnieje  element neutralny względem  mno enia 1  ∈P, taki   e a•1=1•a=a dla ∀a ∈P.      Przykłady.    1. ( Z , +,    •)  - pierścień przemienny.    2. ( W , +, •);  ( Q, +,  •)  -  pierścienie przemienne    3. (2 Z , +, • ) -  pierścień przemienny bez jedynki    2   4.  Zbiór wszystkich funkcji określonych na pewnym przedziale względem  zwykłych działań jest pierścieniem przemiennym z jedynką  - funkcją stałą,  równej 1 na tym przedziale.     5. ( Q [x], +, •) -  pierścień przemienny     6. (Mn(R), +,  •) - pierścień nieprzemienny     7.  Algebra Boole’a ( ℘(X), ∪, ∩) – nie jest pierścieniem     8.  ( ℘(X), ⊕, ∩) -  pierścień przemienny, gdzie  X – dowolny zbiór, ⊕ - ró nica  symetryczna    9. ( Z n, +,    •)  - pierścień przemienny  [x]+[y]= [x+y], [x] • [y]=[xy]    Dziedziny całkowito ś ci i ciała    Definicje  0  ≠  a  ∈  P  nazywamy  lewym dzielnikiem zero , jeśli  ∃ x ∈ P, x  ≠ 0, taki,  e  ax =0.    0  ≠  a  ∈  P  nazywamy  prawym dzielnikiem zero , jeśli  ∃ y ∈ P, y  ≠ 0, taki,  e  ya =0.   Je eli  0  ≠   a   ∈   P   jest  lewym  i  prawym  dzielnikiem  zero,  to   a   nazywamy  dzielnikiem zero .         Pier ś cieniem bez dzielników zero 

(…)

… wszystkich liczb całkowitych {Z, +, ⋅} jest podpierścieniem {W, +, ⋅}
wszystkich liczb wymiernych względem działań dodawania i mno enia.
☼ Definicja.
Homomorfizmem pierścieni A w pierścień B nazywa się takie odwzorowanie
ϕ: A → B, które dla dowolnych a,b∈ A spełnia warunki:
ϕ( a⋅b) = ϕ(a)⋅ϕ(b)
ϕ( a+b) = ϕ(a)+ϕ(b)
Twierdzenie
Jeśli ϕ: A → B jest homomorfizmem pierścieni, to Ker(ϕ) jest podpierścieniem
A, Im(ϕ…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz