1 Wykład 8 Definicja Półgrup ą nazywamy zbiór R z jednym działaniem binarnym •, gdy działanie • jest łączne. Monoidem nazywamy półgrupę M w której istnieje element neutralny, ij. istnieje element e ∈M taki a•e = e•a=a dla ∀a∈M. Grup ą nazywamy monoid G w którym ka dy element jest odwracalny, ij. dla ka dego g∈G istnieje element g -1 ∈G taki g•g-1 = g-1•g=e. Przykłady 1. (Z+, +) jest półgrupą, ale nie jest monoidem. 2. (N, +) oraz (N, ⋅) są monoidami 3. (Z, +) oraz (Z, ⋅) są monoidami 4. Zbiór przekształceń dowolnego zbioru jest monoidem. Pier ś cienie ☼ Definicja Pier ś cieniem nazywamy zbiór R z dwoma działaniami: dodawaniem + i mno eniem •, gdy są spełnione następujące warunki: 1) zbiór R z działaniem + jest grupą przemienną; 2) działanie • jest łączne; 3) działanie • jest rozdzielne względem dodawania: a •(b+c)=a•b+a•c (a+b) •c=a•c+b•c Pierścień P z działaniem mno enia • jest przemienny , jeśli działanie mno enia • jest przemienne. Pierścień P nazywamy pier ś cieniem z jedynk ą, jeśli P ≠{0} oraz istnieje element neutralny względem mno enia 1 ∈P, taki e a•1=1•a=a dla ∀a ∈P. Przykłady. 1. ( Z , +, •) - pierścień przemienny. 2. ( W , +, •); ( Q, +, •) - pierścienie przemienne 3. (2 Z , +, • ) - pierścień przemienny bez jedynki 2 4. Zbiór wszystkich funkcji określonych na pewnym przedziale względem zwykłych działań jest pierścieniem przemiennym z jedynką - funkcją stałą, równej 1 na tym przedziale. 5. ( Q [x], +, •) - pierścień przemienny 6. (Mn(R), +, •) - pierścień nieprzemienny 7. Algebra Boole’a ( ℘(X), ∪, ∩) – nie jest pierścieniem 8. ( ℘(X), ⊕, ∩) - pierścień przemienny, gdzie X – dowolny zbiór, ⊕ - ró nica symetryczna 9. ( Z n, +, •) - pierścień przemienny [x]+[y]= [x+y], [x] • [y]=[xy] Dziedziny całkowito ś ci i ciała Definicje 0 ≠ a ∈ P nazywamy lewym dzielnikiem zero , jeśli ∃ x ∈ P, x ≠ 0, taki, e ax =0. 0 ≠ a ∈ P nazywamy prawym dzielnikiem zero , jeśli ∃ y ∈ P, y ≠ 0, taki, e ya =0. Je eli 0 ≠ a ∈ P jest lewym i prawym dzielnikiem zero, to a nazywamy dzielnikiem zero . Pier ś cieniem bez dzielników zero
(…)
… wszystkich liczb całkowitych {Z, +, ⋅} jest podpierścieniem {W, +, ⋅}
wszystkich liczb wymiernych względem działań dodawania i mno enia.
☼ Definicja.
Homomorfizmem pierścieni A w pierścień B nazywa się takie odwzorowanie
ϕ: A → B, które dla dowolnych a,b∈ A spełnia warunki:
ϕ( a⋅b) = ϕ(a)⋅ϕ(b)
ϕ( a+b) = ϕ(a)+ϕ(b)
Twierdzenie
Jeśli ϕ: A → B jest homomorfizmem pierścieni, to Ker(ϕ) jest podpierścieniem
A, Im(ϕ…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)