P I I I E R S S S C I I I E N I I I E DEF : : : Pier ś cieniem nazywamy zbiór A z działaniami + i · takich, Ŝ e: (i) (A, +) jest grup ą przemienn ą (ii) (A, · ) jest półgrub ą ( · jest ł ą czne) (iii) Zachodz ą prawa rozdzielno ś ci mno Ŝ enia wzgl ę dem dodawania: a, b, c A: a · (b + c) = a · b + a · c (b + c) · a = b · a + c · a Zbiór A z samym działaniem dodawania oznaczamy (A, +) lub A + i nazywamy grup ą addytywn ą pier ś cienia. Zbiór A z samym działaniem mno Ŝ enia oznaczamy (A, · ) i nazywamy grup ą multiplikatywn ą pier ś cienia A . Je Ŝ eli zbiór A\{0} jest zamkni ę ty na mno Ŝ enie, to (A\{0}, · ) te Ŝ jest półgrup ą i te Ŝ jest nazywamy półgrup ą multiplikatywn ą A i oznaczany jest A*. Do dodawania stosujemy notacj ę addytywn ą , do mno Ŝ enia multiplikatywn ą . Je Ŝ eli pier ś cie ń ma jedynk ę , to nazywamy go pier ś cieniem z jedynk ą to nazywamy go pier ś cieniem z jedynk ą . Je Ŝ eli mno Ŝ enie jest przemienne, to pier ś cie ń nazywamy przemiennym. np. Pier ś cie ń zerowy ({0}, +, · ) - pier ś cie ń przemienny z jedynk ą . Pier ś cie ń liczb całkowitych ( Z , +, · ) - pier ś cie ń przemienny z jedynk ą . DEF ( ( ( P P P o o o d d d p p p i i i e e e r r r ś ś ś c c c i i i e e e ń ń ń ) ) ) : : : Podzbiór R pier ś cienia A nazywamy podpier ś cieniem, je ś li R jest pier ś cieniem ze wzgl ę du na działania +, · z pier ś cienia A . Równowa Ŝ nie mo Ŝ na powiedzie ć , Ŝ e R jest podpier ś cieniem jest niepusty i zamkni ę ty na odejmowanie w mno Ŝ enie : a, b R: a - b R a · b R Podpier ś cieniem z jedynk ą z pier ś cienia z jedynk ą A nazywamy podpier ś cie ń do którego nale Ŝ y jedynka pier ś cienia A . Homomorfizmem pier ś cienia A i B nazywamy funkcj ę f: A → B, je ś li: a, a' A : f(a + a') = f(a) + f(a') f(aa') = f(a)f(a') Je Ŝ eli A, B s ą pier ś cieniami z 1, to f nazywamy homomorfizmem pier ś cienia z jedynk ą je ś li dodatkowo f(1) = 1. np. ZZ Z - to jest podpier ś cie ń , ale nie podpier ś cie ń z jedynk ą f: Z → Z f(n) = 0 - to jest homomorfizm pier ś cieni, ale nie homomorfizm pier ś cieni z jedynk ą . S S S T T T W W : : : Niech A b ę dzie pier ś cieniem, a, b A (i) a A: 0 · a = 0 (ii)
(…)
…) = f(x)g(x)
DEF (((eeellleeemeeennntttooodddwrrraaacccaaalllnnnyyyiiigggrrruuupppaaajjjeeedddnnnooośśśccciii))):::
Niech A będzie pierścieniem z jedynką
Element aA nazywamy elementem odwracalnym pierścienia, jeśli istnieje bA takie, Ŝe
ab=ba=1.
Element b, jeśli istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie i zapisujemy go a -1.
Zbiór wszystkich elementów odwracalnych pierścienia A oznaczamy U(A) i nazywamy go
grupą jedności pierścienia.
S SST TTWW: ::
Zbiór U(A) tworzy grupę względem mnoŜenia w pierścieniu A.
np. U(ZN ) = ( n) -grupa zredukowanych reszt modulo n.
DEF (((dddzzziiieeelllnnniiikkkzzzeeerrraaa))):::
Element a0 pierścienia przemiennego A nazywamy dzielnikiem zera bA\{0} takie, Ŝe
ab=0
W pierścieniu nieprzemiennym moŜna mówić o lewo, prawo i obu stronnych dzielnikach
zera.
DEF (((nnniiilllpppooottteeennnttt))):::
Element a pierścienia A nazywamy niepotentnym jeśli istnieje liczba taka liczba naturalna n,
Ŝe: an=0
S SST TTWW: ::
RóŜny od zera element niepotentny jest dzielnikiem zera.
JeŜeli N jest liczbą złoŜoną, N = kn k, n<N, to pierścień ZN zawiera dzielniki zera.
Dokładniej k
N
l = 0 w ZN
Ogólnie n ZN jest dzielnikiem zera n0 i nwd(n, N) > 1
Niech URn , U0 i U - zbiór otwarty.
Pierścień C r(U) posiada dzielniki zera.
Np. n = 1, r = 0, U=(0, 1)
T TTWWI IIEERRDDZ ZZEENNI IIEE
JeŜeli A jest pierścieniem przemiennym. a, b, c A , a0 i nie jest dzielnikiem zera i ab = ac,
to b = c
DEF (((dddzzziiieeedddzzziiinnnaaacccaaałłłkkkooowiiitttooośśśccciii))):::
Niezerowy pierścień przemienny z jedynką nazywamy dziedziną całkowitości, jeŜeli nie
zawiera on dzielników zera.
np. Z, Q, R, C
FFAAKKT TT
ZN jest dziedziną całkowitości N jest liczbą pierwszą.
np. Dla dowolnego niepustego obszaru C n
Pierścień Hol() (pierścień funkcji holomorficznych z do C) jest dziedziną całkowitości.
S SST TTWW: ::
Element odwracalny nie moŜe być dzielnikiem zera.
WNIOSEK
KaŜde ciało jest dziedziną całkowitości (implikacja odwrotna nie zachodzi. Np. Z jest
dziedziną całkowitości, ale nie jest ciałem…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)