Pierścienie ułamkowe

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 1295
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Pierścienie ułamkowe  - strona 1 Pierścienie ułamkowe  - strona 2

Fragment notatki:


P I I IER S S SC I I IEN I I IE ULAMKOW , , , C I I IALA ULAMKOW I I I LOKAL I I IZAC J J JA Niech A b ę dzie niezerowym pier ś cieniem przemiennym. Podzbiór S  A, S  0 nazywamy podzbiorem multiplikatywnym, je ś li: (i) 0  S (ii)  s,t  S st  S (iii) Je ś li A posiada jedynk ę to 1  S np.  A - dziedzina całkowito ś ci S = A \ {0}  A - ideał pierwszy pier ś cienia A p - ideał pierwszy pier ś cienia A S - A \ p Niech A b ę dzie pier ś cieniem przemiennym. S  A - podzbiór multiplikatywny W A  S okre ś lamy relacj ę : ~: (a, s) ~ (a', s')  t  S : as't = a'st [Je ś li w S nie ma dzielników zera, to (a, s) ~ (a', s')  as' = a's F F A A K K T T T Relacja ~ jest relacja równowa Ŝ no ś ci T T T W W I I I E E R R D D Z Z Z EN I I IE . . . Niech A b ę dzie pier ś cieniem przemiennym, S  A jego podzbiorem multiplikatywnym. (1) Zbiór S -1 A z działaniami +;  okre ś lonymi wy Ŝ ej jest pier ś cieniem przemiennym z jedynk ą . Dla dowolnego elementu s  S, s 0 jest zerem, s s jedynk ą pier ś cienia S -1 A. Elementem przeciwnym do s a jest s (  a ) (2) Odwzorowanie  : A → S -1 A,  (a) = a 0 0 s s , nie zale Ŝ y od wyboru s 0  S i jest homomorfizmem pier ś cienia. Mamy przy tym  s (S)  U(S -1 A) Je ś li S nie zawiera dzielników zera, to  s jest iniekcj ą . (3) Je Ŝ eli A jest dziedzin ą całkowito ś ci, to S -1 A te Ŝ jest dziedzin ą całkowito ś ci. T T TW I I IERD Z Z ZEN I I IE . . . Niezerowy pier ś cie ń przemienny jest podpier ś cieniem ciała  nie zawiera dzielników zera. T T TW I I IERD Z Z ZEN I I IE ( ( (UN I I IWER S S SA L L LNO Ś Ś ŚĆ P P P I I IER Ś Ś Ś C I I IEN I I IAU Ł Ł ŁAMKÓW ) ) ) . . . Niech A b ę dzie pier ś cieniem przemiennym, S  A podzbiorem multiplikatywnym. Wtedy dla dowolnego pier ś cienia przemiennego z jedynk ą B oraz homomorfizmu f: A → B takiego, Ŝ e f(S)  U(B), istnieje jednoznacznie okre ś lony homomorfizm pier ś cienia z jedynk ą : h: S -1 A → B taki, Ŝ e diagram : jest przemienny WNIOSEK (WŁASNO ŚĆ MINIMALNO Ś CI CIAŁA UŁAMKÓW) Niech A - pier ś cie ń przemienny bez dzielników zera K - ciało ułamków pier ś cienia A Niech f:A → L b ę

(…)


Niech A będzie pierścieniem przemiennym. S A - podzbiór multiplikatywny
W A  S określamy relację: ~:
(a, s) ~ (a', s')  tS : as't = a'st
[Jeśli w S nie ma dzielników zera, to (a, s) ~ (a', s')  as' = a's
FFAAKKT TT
Relacja ~ jest relacja równowaŜności
T TTWWI IIEERRDDZ ZZENIIIE...
Niech A będzie pierścieniem przemiennym, S  A jego podzbiorem multiplikatywnym.
(1) Zbiór S -1A z działaniami +;  określonymi wyŜej jest pierścieniem przemiennym z
jedynką. Dla dowolnego elementu sS, s
0 jest zerem, s
s jedynką pierścienia S -1A.
Elementem przeciwnym do s
a jest s
(a)
(2) Odwzorowanie : A → S -1A, (a) = a
0
0
s
s , nie zaleŜy od wyboru s0  S i jest
homomorfizmem pierścienia.
Mamy przy tym s(S)  U(S -1A)
Jeśli S nie zawiera dzielników zera, to s jest iniekcją.
(3) JeŜeli A jest dziedziną całkowitości, to S -1A teŜ jest dziedziną całkowitości.
TTTWIIIERDZZZENIIIE...
Niezerowy pierścień przemienny jest podpierścieniem ciała  nie zawiera dzielników zera.
TTTWIIIERDZZZENIIIE(((UNIIIWERSSSALLLNOŚŚŚĆPPPIIIERŚŚŚCIIIENIIIAUŁŁŁAMKÓW)))...
Niech A będzie pierścieniem przemiennym, S  A podzbiorem multiplikatywnym. Wtedy dla
dowolnego pierścienia przemiennego z jedynką B oraz homomorfizmu f: A → B takiego, Ŝe
f(S)  U(B), istnieje jednoznacznie określony homomorfizm pierścienia z jedynką:
h: S -1A→B taki, Ŝe diagram :
jest przemienny
WNIOSEK (WŁASNOŚĆ MINIMALNOŚCI CIAŁA UŁAMKÓW)
Niech A - pierścień przemienny bez dzielników zera
K - ciało ułamków pierścienia A
Niech f:A→L będzie monomorfizmem pierścienia A w ciało L.
Istnieje wtedy monomorfizm f*:K→L taki, Ŝe: A f
f * 
DEF (((pppiiieeerrrśśśccciiieeeńńńiiidddeeeaaalllnnnyyy…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz