Ideały pierwsze i maksymalne

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 1092
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Ideały pierwsze i maksymalne - strona 1 Ideały pierwsze i maksymalne - strona 2

Fragment notatki:


I I IDEALY P I I IERW S S SZE I I I MAK S S SYMALNE W P I I IER S S SC I I IEN I I IACH PRZEM I I IENNYCH DEF ( ( ( i i i d d d e e e a a a ł ł ł p p p i i i e e e r r rw s s s z z z u u u ) ) ) : : : Ideał I pier ś cienia przemiennego A nazywamy pierwszym  I  A dla wszystkich x, y  A spełniona jest implikacja: xy  I ⇒ x  I  y  I np.  W Z ideał n Z jest pierwszy  n jest liczb ą pierwsz ą lub przeciwn ą do liczby pierwszej lub zerem.  W pier ś cieniu przemiennym A ideał 0A = {0} jest pierwszy  A jest niezerowy i nie posiada dzielników zera. T T TW I I IERD Z Z ZEN I I IE . . . Niech A b ę dzie pier ś cieniem przemiennym z jedynk ą a I jego ideałem. Pier ś cie ń I A jest dziedzin ą całkowito ś ci  I jest ideałem pierwszym. S S S T T T W W : : : Niech f : A → B b ę dzie homomorfizmem pier ś cieni przemiennych z jedynk ą , a  ideałem pierwszym pier ś cienia B . Wtedy f -1 (  ) jest ideałem pierwszym A . Je Ŝ eli f jest epimorfizmem a  ideałem pierwszym pier ś cienia A , to f(  ) jest ideałem pierwszym B. UWAGA: W powy Ŝ szym dowodzie skorzystali ś my z: S S S T T T W W : : : Podpier ś cie ń z jedynk ą dziedziny całkowito ś ci jest dziedzin ą całkowito ś ci. Obraz dziedziny całkowito ś ci w homomorfizmie pier ś cieni z jedynk ą jest dziedzin ą całkowito ś ci. DEF ( ( ( i i i d d d e e e a a a ł ł łm a a a k k k s s s y y ym a a a l l l n n n y y y ) ) ) : : : Ideał I pier ś cienia przemiennego A nazywamy maksymalnym, je ś li I  A oraz  ideału J pier ś cienia A takiego, Ŝ e I  J mamy I = J. T T TW I I IERD Z Z ZEN I I IE . . . Niech A b ę dzie pier ś cieniem przemiennym z jedynk ą , I - jego ideałem. Pier ś cie ń ilorazowy I A jest ciałem  I jest ideałem maksymalnym. WNIOSEK W pier ś cieniu przemiennym z jedynk ą ka Ŝ dy ideał maksymalny jest ideałem pierwszym T T TW I I IERD Z Z ZEN I I IE ( ( (O I I I S S S T T TN I I IEN I I IU I I IDEA Ł Ł ŁUMAK S S S Y Y YMA L L LNEGO ) ) ) . . . Ka Ŝ dy ideał I  A pier ś cienia przemiennego z jedynk ą A zawiera si ę w pewnym ideale maksymalnym pier ś cienia A . W szczególno ś ci w ka Ŝ dym niezerowym pier ś cieniu przemiennym z jedynk ą istnieje przynajmniej jeden ideał maksymalny. WNIOSEK Dla dowolnego niezerowego pier ś cienia z jedynk

(…)

… A ideał 0A = {0} jest pierwszy  A jest niezerowy i nie
posiada dzielników zera.
TTTWIIIERDZZZENIIIE...
Niech A będzie pierścieniem przemiennym z jedynką a I jego ideałem. Pierścień I
A jest
dziedziną całkowitości I jest ideałem pierwszym.
S SST TTWW: ::
Niech f : A → B będzie homomorfizmem pierścieni przemiennych z jedynką, a  ideałem
pierwszym pierścienia B. Wtedy f -1 () jest ideałem pierwszym…
… przemiennego A nazywamy maksymalnym, jeśli I  A oraz  ideału J
pierścienia A takiego, Ŝe I  J mamy I = J.
TTTWIIIERDZZZENIIIE...
Niech A będzie pierścieniem przemiennym z jedynką, I - jego ideałem.
Pierścień ilorazowy I
A jest ciałem I jest ideałem maksymalnym.
WNIOSEK
W pierścieniu przemiennym z jedynką kaŜdy ideał maksymalny jest ideałem pierwszym
TTTWIIIERDZZZENIIIE(((OIIISSSTTTNIIIENIIIUIIIDEAŁŁŁUMAKSSSYYYMALLLNEGO)))...
KaŜdy ideał I  A pierścienia przemiennego z jedynką A zawiera się w pewnym ideale
maksymalnym pierścienia A.
W szczególności w kaŜdym niezerowym pierścieniu przemiennym z jedynką istnieje
przynajmniej jeden ideał maksymalny.
WNIOSEK
Dla dowolnego niezerowego pierścienia z jedynką A istnieje ciało K, które jest obrazem A w
homomorfizmie pierścieni z jedynką.
TTTWIIIERDZZZENIIIE(((CHIIIŃSSSKIIIEORESSSZZZTTTACHDLLLAGRUPPPYYY)))...
Homomorfizm f jest epimorfizmem 
H1 + H2 = (H1 H2) + H3 = (H1 H2 H3) + H4 = … = (H1 …  Hn-1) + Hn = G
WNIOSEK
Homomorfizm f jest izomorfizmem  oprócz warunku z twierdzenia społnione jest teŜ:
H1 …  Hn = {0}
WNIOSEK
Niech A będzie pierścieniem przemienny z jedynką, I1, …, In (n≥2) jego ideałami takimi, Ŝe
Ii + Ij = A ( ij) wtedy homomorfizm f: A →
n I
A
I
A ...
1
f(a) = (a + I1…
…, …, a + In) jest epimorfizmem.
Jego jądrem jest I
n
i
i I
1
Mamy ponadto izomorfizm pierścieni:

 

 

 I
n
i
i I
A
1
n I
A
I
A ...
1
WNIOSEK (TW. CHIŃSKIE O RESZTACH DLA PIERŚCIENI)
Niech A, I1, …, In będą j.w.
Wtedy dla dowolnych elementów a1, …, an A istnieje xA taki, Ŝe:
x  ai (mod Ii) i = 1, …, n
JeŜeli x' A spełnia równieŜ powyŜszą kongruencję, to x'  x (mod I1 …  In)
WNIOSEK (KLASYCZNE TW. CHIŃSKIE O RESZTACH)
JeŜeli m1, …, mn są liczbami naturalnymi parami względnie pierwszymi
to dla dowolnych a1, …, an Z istnieje x Z taki, Ŝe:
x  ai (mod mi) i = 1, …, n
JeŜeli x' spełnia te same kongruencje to x'  x (mod m1…mn)

... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz