Wykład 10 - Ideały

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 742
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wykład 10 - Ideały - strona 1 Wykład 10 - Ideały - strona 2 Wykład 10 - Ideały - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 10 Niech  P  będzie dowolnym pierścieniem. Niepusty podzbiór  I ⊆ P  nazy- wamy ideałem pierścienia  P  jeśli spełnione są następujące warunki: (i)  ∀a, b ∈ I a − b ∈ I . (ii)  ∀p ∈ P ∀a ∈ I pa ∈ I, ap ∈ I Przykłady 1. Każdy zbiór  n Z jest ideałem pierścienia Z. 2. Zbiór  { 0 ,  2 ,  4 }  jest ideałem pierścienia  Z 6. 3. Niech  f  będzie homomorfizmem pierścienia  P  w pierścień  S . Wtedy zbiór Ker f  =  {x ∈ P  :  f  ( x ) = 0 S}  jest ideałem pierścienia  P  . Rzeczywiście jeśli x, y ∈  Ker f  to mamy  f  ( x  +  y ) =  f  ( x ) +  f  ( y ) = 0 S  + 0 S  = 0 S , a więc  x  +  y ∈ Ker f  . Jeśli teraz  p ∈ P  i  x ∈  Ker f  to  f  ( px ) =  f  ( p ) f  ( x ) =  f  ( p )0 S  = 0 S  i podobnie  f  ( xp ) = 0 S . Zbiór Ker f  nazywamy jądrem homomorfizmu  f  . 4. Każdy pierścień  P  posiada co najmniej dwa ideały:  I 1 =  { 0 P } ,  I 2 =  P  . Ideały te nazywać będziemy ideałami niewłaściwymi. 5. Jeśli  K  jest ciałem to jedynymi jego ideałami są ideały niewłaściwe. Własności ideałów Niech  I  będzie ideałem pierścienia  P  . (i) 0 P ∈ I . Rzeczywiście dla dowolnego  a ∈ P  mamy 0 P  =  a − a ∈ I , zatem 0 P ∈ I . (ii) Jeśli  a ∈ I  to  −a ∈ I . Rzeczywiście jeśli  a ∈ I  i ponieważ 0 P ∈ I  to mamy 0 p − a ∈ I , a więc  −a ∈ I . (iii) Jeśli  a, b ∈ I  to  a  +  b ∈ I . Ponieważ  b ∈ I  to również  −b ∈ I , a więc także  a  +  b  =  a −  ( −b )  ∈ I . Relację  ∼  nazywać będziemy kongruencją w pierścieniu  P  jeśli: (i)  ∼  jest relacją równoważności. (ii) ∀a, b, c, d ∈ P  : a ∼ b c ∼ d ⇒ a  +  c ∼ b  +  d ac ∼ bd Przykłady 1. W każdym pierścieniu relacja = jest kongruencją. 2. W pierścieniu Z relacja przystawania modulo  n  jest kongruencją. 3. W pierścieniu wielomianów  K [ x ] relacja przystawania modulo pewien wie- lomian jest kongruencją. Twierdzenie 1  Jeśli I jest ideałem pierścienia P to relacja: a ∼I b ⇐⇒ a − b ∈ I jest kongruencją pierścienia P . Ponadto  [ a ] =  a  +  I  =  {a  +  i  :  i ∈ I}. 1 Dowód  Sprawdzimy najpierw, że relacja  ∼I  jest relacją równoważności. 1. Zwrotność:  a ∼I a  bo  a − a  = 0 P ∈ I . 2. Symetryczność: jeśli  a ∼I b  to  a − b ∈ I , stąd  b − a  =  − ( a − b )  ∈ I , a więc b ∼I a . 3. Przechodniość: jeśli  a ∼I b  i  b ∼I c  to  a − b ∈ I ,  b − c ∈ I . Wtedy a − b  +  b − c  =  ... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz