To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 10 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Niepusty podzbiór I ⊆ P nazy- wamy ideałem pierścienia P jeśli spełnione są następujące warunki: (i) ∀a, b ∈ I a − b ∈ I . (ii) ∀p ∈ P ∀a ∈ I pa ∈ I, ap ∈ I Przykłady 1. Każdy zbiór n Z jest ideałem pierścienia Z. 2. Zbiór { 0 , 2 , 4 } jest ideałem pierścienia Z 6. 3. Niech f będzie homomorfizmem pierścienia P w pierścień S . Wtedy zbiór Ker f = {x ∈ P : f ( x ) = 0 S} jest ideałem pierścienia P . Rzeczywiście jeśli x, y ∈ Ker f to mamy f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) = 0 S + 0 S = 0 S , a więc x + y ∈ Ker f . Jeśli teraz p ∈ P i x ∈ Ker f to f ( px ) = f ( p ) f ( x ) = f ( p )0 S = 0 S i podobnie f ( xp ) = 0 S . Zbiór Ker f nazywamy jądrem homomorfizmu f . 4. Każdy pierścień P posiada co najmniej dwa ideały: I 1 = { 0 P } , I 2 = P . Ideały te nazywać będziemy ideałami niewłaściwymi. 5. Jeśli K jest ciałem to jedynymi jego ideałami są ideały niewłaściwe. Własności ideałów Niech I będzie ideałem pierścienia P . (i) 0 P ∈ I . Rzeczywiście dla dowolnego a ∈ P mamy 0 P = a − a ∈ I , zatem 0 P ∈ I . (ii) Jeśli a ∈ I to −a ∈ I . Rzeczywiście jeśli a ∈ I i ponieważ 0 P ∈ I to mamy 0 p − a ∈ I , a więc −a ∈ I . (iii) Jeśli a, b ∈ I to a + b ∈ I . Ponieważ b ∈ I to również −b ∈ I , a więc także a + b = a − ( −b ) ∈ I . Relację ∼ nazywać będziemy kongruencją w pierścieniu P jeśli: (i) ∼ jest relacją równoważności. (ii) ∀a, b, c, d ∈ P : a ∼ b c ∼ d ⇒ a + c ∼ b + d ac ∼ bd Przykłady 1. W każdym pierścieniu relacja = jest kongruencją. 2. W pierścieniu Z relacja przystawania modulo n jest kongruencją. 3. W pierścieniu wielomianów K [ x ] relacja przystawania modulo pewien wie- lomian jest kongruencją. Twierdzenie 1 Jeśli I jest ideałem pierścienia P to relacja: a ∼I b ⇐⇒ a − b ∈ I jest kongruencją pierścienia P . Ponadto [ a ] = a + I = {a + i : i ∈ I}. 1 Dowód Sprawdzimy najpierw, że relacja ∼I jest relacją równoważności. 1. Zwrotność: a ∼I a bo a − a = 0 P ∈ I . 2. Symetryczność: jeśli a ∼I b to a − b ∈ I , stąd b − a = − ( a − b ) ∈ I , a więc b ∼I a . 3. Przechodniość: jeśli a ∼I b i b ∼I c to a − b ∈ I , b − c ∈ I . Wtedy a − b + b − c =
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)