Abstrakcja - system algebraiczno-relacyjny

Nasza ocena:

5
Pobrań: 42
Wyświetleń: 770
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Abstrakcja - system algebraiczno-relacyjny - strona 1 Abstrakcja - system algebraiczno-relacyjny - strona 2

Fragment notatki:

Systemem algebraiczno-relacyjnym nazywamy obiekt , w którym wyróżniamy:
- zbiór S≠∅ - przestrzeń (uniwersum, nośnik)
- rodzinę A - przekształceń (funkcji)
- co najwyżej przeliczalna (ℵ 0 )
- co najmniej jeden z argumentów każdego przekształcenia należy do S
- wartość przekształcenia należy do S
- rodzinę R - relacje w S
- rodzina jest co najwyżej przeliczalna
- liczba argumentów w każdej relacji jest skończona
Izomorfizm algebr uniwersalnych Jeżeli istnieje bijekcja f: S -- S', która zachowuje przekształcenia i relacje, tzn. jeżeli A j  (x 1 , x 2 , ..., x pj ) = x ⇒ A j ' (f(x 1 ), f(x 2 ), ..., f(x pj )) = f(x) oraz jeżeli (x 1 , x 2 , ..., x qk ) ∈ R k ⇒ (f(x 1 ), f(x 2 ), ..., f(x qk )) ∈ R k ', to mówimy, że S i S' są systemami izomorficznymi .
Kongruenc je Niech:
- nośnik i funkcja, „~” - relacja równoważności w S
a ∈ A (przekształcenie m-argumentowe a: S m  → S)
zbiór S jest podzielony na klasy abstrakcji: [s] ~  = [t] ~  ⇔ s ~ t
ciągi: (s 1 , s 2 , ..., s m ), (t 1 , t 2 , ..., t m ) takie, że [s j ] ~  = [t j ] ~   j = 1,...,m
Jeżeli [a (s 1 , s 2 , ..., s m )] ~  = [a (t 1 , t 2 , ..., t m )] ~  
to relację równoważności „~” nazywamy kongruencją (relacja jest kongruentna) względem działania a.
Jeżeli istnieje taka kongruencja, że:
a jest działaniem w S, a ~ jest działaniem w S| ~ a ~  ([t 1 ] ~ , [t 2 ] ~ , ..., [t m ] ~ ) = [a (t 1 , t 2 , ..., t m )] ~ to o takim działaniu mówimy, że jest określone kongruentnie względem działania a.
przystawanie modulo n :
∀ a,b∈Z, a ~ b ⇔ ∃ k∈Z, a-b = n⋅k
Algebra ilorazowa Działanie wewnętrzne w zbiorze X: przekształcenie h: X×X ∋ (a,b) → c = h(a,b) ∈ X
Działanie zewnętrzne - g: F×X ∋ (,a) → b = g(,a) ∈ X, F - zbiór skalarów (operatorów)
Działanie łączne - ∀ a,b,c ∈ X, (a*b)*c = a*(b*c)
Rozdzielność  względem ◊ lewostr.: ∀ a,b,c ∈ X, (a ◊ b)  c = (a  c) ◊ (b  c)
prawostr.: ∀ a,b,c ∈ X, a  (b ◊ c) = (a  b) ◊ (a  c)
Element neutralny (e) - ∀ a ∈ X, e*a = a*e = a
Element odwrotny (a') - a'*a = a*a' = e
Relację równoważności „~” nazywamy zgodną z działaniem * w zbiorze X, jeżeli
∀ a,b,c,d ∈ X, [(a ~ b) ∧ (c ~ d)] ⇒ [(a*c) ~ (b*d)]
Parę złożoną z niepustego zbioru S oraz operacji a: S 2 → S (

(…)

… cykliczną generowaną przez s i oznaczamy Gen (s), s - generator półgrupy.
< N, + > = Gen(1) - półgrupa nieskończona
< {0, 1, ..., r-1}, ⊕ > r = m + n, m, n - ustalone, r ∈ N, m ∈ N0 - półgrupa skończona, ozn. Cm,n j ⊕ k = m + [(j +k)(mod n)] jeżeli (j + k) ≥ r; (j + k) w p.p.
Niech x - element monoidu, wówczas xn n ∈ Z tworzy grupę. Grupę tę nazywamy grupą cykliczną generowaną przez x i oznaczamy Gen(x…
… > w grupę < B , , e2 >, to zbiór Ker(h) = {a ∈ A : h(a) = e2} nazywamy jądrem homomorfizmu h. (jądro - przeciwobraz zera) Ker(h) ≠ ∅
Jądro homomorfizmu jest podgrupą grupy A.
47. Twierdzenie o uniwersalności monoidów.
48. Twierdzenie o uniwersalności grup.
Jedynymi grupami cyklicznymi z dokładnością do izomorfizmu są:
- grupa addytywna liczb całkowitych < Z, +, 0 >
- grupa < Zn, +n, 0 >
Jeśli liczba…
…· a-1.
< A, ◊, e1 >, < B , , e2 > Funkcję h: A → B nazywamy homomorfizmem, jeśli:
h(a ◊ b) = h(a)  h(b) a,b ∈ A
h(e1) = e2 Rodzaje homomorfizmów:
endomorfizm - homomorfizm w siebie (B = A)
monomorfizm - iniekcja (różnowartościowość) h(x) = h(y) ⇒ x = y
epimorfizm - suriekcja („na”) B = h(A)
izomorfizm - bijekcja (mono + epi)
automorfizm - izomorfizm na siebie (izo + endo)
Grupa automorfizmów grupy…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz