1 Wykład 1 Algebra zbiorów Pierwotne (czyli niezdefiniowane) wymienione pojęcia: - zbiór (inaczej: mnogość, klasa) - nale enia elementu do zbioru. Zbiory oznaczamy du ymi literami alfabetu A, B, X, ... a ich elementy małymi literami a, b, x, 1. N ={1, 2, 3, 4, 5,.....
Wykład 2 Funkcje Definicja Relację f ⊆ X ×Y nazywamy funkcj ą, odwzorowującą zbiór X w zbiór Y, je eli spełnia warunki: • ∀(x ∈ X ) ∃ (y ∈ Y) [ (x, y) ∈ f ] • ∀(x ∈ X ) ∀(y1, y2 ∈ X ) [ (x, y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f ⇒ y1 = y2 ] f : X → Y Przykłady...
Dodawanie modulo Dodawanie modulo polega na obliczaniu reszty z dzielenia sumy liczb. Przykład: w zbiorze zachodzi: Dodawanie modulo można też określić dla liczb rzeczywistych, np. w geometrii suma dwóch kątów skierowanych ma miarę r...
Definicja Superpozycją (złoŜeniem) odwzorowanie f:X →Y i g:Y→Z nazywamy takie odwzorowanie g °f:X→Z , które spełmia warunek ∀x∈X (g°f)(x)=g[f(x)] Definicja Odwzorowanie f:X →Y nazywamy odwracalnym, jeŜeli istnieje taka funkcja g:Y→X, Ze spełnione są warunki: f °g=idy ∧ g°f=idx (id x...
Definicja Superpozycją (złożeniem) odwzorowanie f:X→Y i g:Y→Z nazywamy takie odwzorowanie g°f:X→Z , które spełnia warunek ∀x∈X (g°f)(x)=g[f(x)] Definicja Odwzorowanie f:X→Y nazywamy odwracalnym, jeżeli istnieje taka funkcja g:Y→X, Ze spełnione są warunki: f°g=idy ∧ g°f=idx (id X→X:id(x)=x). Odwzor...
PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 1. PODSTAWOWE OKREŚLENIA. 1.1. DEFINICJA. Niech V oraz W będą przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciałem K . Odwzorowanie F: V → W nazywa się odwzorowaniem liniowym (lub homomorfizmem przestrzeni wektorowych ), jeśli : (L1) F( v 1 + v 2 ) = F( v 1 ) + F( v 2 ), (L2) F...
Twierdzenie Cramera Jeżeli macierz podstawowa A = [a1,a2,...,an] układy n równań z n niewiadomymi jest macierzą nieosobliwą , to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego układu określone wzorami Cramera: x i = , i = 1,2,...,n lub w postaci macierzowej: x = A -1 b Dowód: Jeżeli det A 0, to istn...
Twierdzenie Kroneckera-Capelli'ego Układ równań liniowych Ax = b ma rozwiązanie r(A) = r(Ab). Dowód: Wektor c = (c 1 , c 2 ,..., c n ) jest rozwiązaniem równania Ax = b, czyli równania a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, a 1 c 1 + a...
WIADOMOŚCI WSTĘPNE 1. P ODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE Definicja D ziałaniem 2-argumentowym na niepustym zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie Wartość f ( a,b ) nazywamy rezultatem (wynikiem) działania f na elementach a , b ze zbioru A. Jeśli f jest działaniem w A, X ⊆ A oraz dla dowolnych elem...
k=0,1,...,n-1 Ogólne równanie płaszczyzny: Ax+By+Cz+D=0 Odcinkowe równanie płaszczyzny Kąt między płaszczyznami Warunek prostopadłości Warunek równoległości Odległość punktu P od płaszczyzny: Parametryczna postać prostej Kierunkowe równani...
