Definicja Superpozycją (złoŜeniem) odwzorowanie f:X →Y i g:Y→Z nazywamy takie odwzorowanie g °f:X→Z , które spełmia warunek ∀x∈X (g°f)(x)=g[f(x)] Definicja Odwzorowanie f:X →Y nazywamy odwracalnym, jeŜeli istnieje taka funkcja g:Y→X, Ze spełnione są warunki: f °g=idy ∧ g°f=idx (id x X→X:id(x)=x). Odwzorowanie odwrotne do odwzorowania f oznaczamy f 1 − ∀x∈X f 1 − [f(x)]=x i ∀y∈Y f 1 − [f(y)]=y .Odwzorowanie f jest odwracalne ⇔ gdy jest bijekcją. Definicja JeŜeli spełniony jest warunek ∃e∈A ∀a∈A e#a=a#e=a to element e nazywamy elementem neutralnym, a półgrupę – półgrupą unitarną. Definicja Półgrupę unitarną komutatywną, w której kaŜdy element ma element symetryczny, tzn. ∀A ∃a’∈A a#a’=a’#a=e nazywamy grupą abelową. Definicja Trójką (A, #,°)[gdzie #,°-dwa działania wewnętrzne w niepustym zbiorze A] spełniającą warunki: 1.para (A, #)- jest grupą abelową 2.para (A, °)- jest półgrupą 3. działanie „ °” jest dystrybutywne ( rozdzielne ) względem działania „#” tzn. ∀a,b,c∈A (a #b)°c=(a°c)#(b°c) c°(a#b)=(c°a)#(c°b) nazywamy pierścieniem. Definicja ciała Pierścień całkowity, w którym kaŜdy element niezerowy ma element symetryczny (względem drugiego działania) nazywamy ciałem. Elementy ciała nazywamy liczbami albo skalarami. Definicja przestrzeni liniowej (wektorowej) Niech V=(A,+) [będzie grupą abelową], K dowolnym ciałem zaś S:K ×V→V odwzorowaniem, które parze elementów ( α,V)∈ K×V będziemy oznaczać S(α,V)=αV. Trójkę (V,K,S), która spełnia warunki: 1. ∀α∈K ∀a,b,c∈V α(a+b)=αa+αb 2. ∀α,β∈K ∀a∈V (α+β)a=αa+βa 3. ∀α,β∈K ∀a∈V (αβ)a=α(βa) 4. ∀a∈V 1a=a - nazywamy przestrzenią liniową, przestrzenią wektorową nad ciałem K i oznaczamy symbolem V(K). Elementy grupy V nazywamy wektorami, a odwzorowanie S, mnoŜeniem skalarów przez wektory. Definicja Kombinacją liniową n wektorów a 1 ,a 2 ,...,a n z przestrzeni wektorowej [∈V(K)] o współczynnikach n α α α ,..., , 2 1 nazywamy element przestrzeni V postaci ∑ = = + + + n i k k k n n a a a a α α α α ... 2 2 1 1 . Definicja Wektory a 1 ,a 2 ,...,a n ∈V(K) są liniowo zaleŜne ⇔ gdy przynajmniej jeden z nich da się przedstawić jako kombinacja liniowa pozostałych.
(…)
… ten jest podzielny przez
dwumian z- z 0 i odwrotnie, czyli p(z)=0 ⇔ (z- z 0 )|p(z).
Twierdzenie d’Alamberta
KaŜdy wielomian w dziedzinie zespolonej stopnia n≥1 ma co najmniej jedno miejsce
zerowe.
Wielomiany w liczbie zespolonej
Twierdzenie
JeŜeli liczba zespolona z 0 jest pierwiastkiem wielomianu p o wspólczynnikach
rzeczywistych, to równieŜ pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba spręŜona z 0 .
Funkcje wymierne
Twierdzenie
KaŜdą funkcję wymierną właściwą
p
moŜna przedstawić w postaci sumy pewnej
q
liczby ułamków prostych, przy czym:
1.KaŜdemu czynnikowi postaci (x- x 0 ) k w rozkładzie mianownika q na czynniki
odpowiadają w tej sumie składniki :
αk
( x − x0 )
k
+
α k +1
( x − x0 )
k −1
+ ...+
α1
x − x0
; gdzie α 1 ...α k ∈R
2.KaŜdemu czynnikowi postaci (x 2 +bx+c) k w rozkładzie mianownika q na czynniki
odpowiadają…
… w bazie nazywamy wymiarem przestrzeni i
oznaczamy symbolem dimV. ∀∋a= ∑α i ei - rozkład wektora w bazie {e i }
i∈I
Liczby zespolone
Twierdzenie 1
JeŜeli liczby zespolone z i z’ są róŜne od zera, a ϕ 1 i ϕ 2 są dowolnymi argumentami
tych liczb, to suma ϕ 1 +ϕ 2 jest argumentem iloczynu zz’ zaś róŜnica ϕ 1 -ϕ 2 jest
argumentem ilorazu
z
z'
Twierdzenie 2 (wzory Moivre’a)
JeŜeli liczba zespolona z jest róŜna…
… określoną
wzorem A ij :=(-1) i+ j M ij
Definicja
Macierz kwadratową A nazywamy macierzą nieosobliwą jeśli jej wyznacznik jest róŜny
od 0; jeśli detA=0, to A nazywamy macierzą osobliwą.
Definicja
JeŜeli macierze A,B∈W oraz AB=BA=E to macierz B nazywamy odwrotną do
n×n
macierzy A i oznaczamy ją symbolem A −1 .
Twierdzenie
Macierz A ma macierz odwrotną ⇔ gdy jest macierzą nieosobliwą.
Dowód: ⇒istnieje A −1…
… rząd macierzy nie zmieni się
jeśli usuniemy z niej kolumnę zerową, lub z dwóch kolumn proporcjonalnych usuniemy
jedną.
Twierdzenie Kroneckera-Capelliego
Ukłąd równań liniowych Ax=B posiada co najmniej jedno rozwiązanie ⇔r(A)=r(A b )
Dowód:
Układ ( γ 1 ,γ 2 ,...,γ n ) jest rozwiązaniem ⇔ γ 1a1 +γ 2 a 2 +...+γ n a n ⇔ b∈( a 1 ,a 2 ,...,a n )
⇔L(a 1 ,a 2 ,...,a n )=L(a 1 ,a 2 ,...,a n ,b)⇔dim(a 1 ...a n…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)