WYKŁAD 4
ALGEBRA MACIERZY
MACIERZE – POJĘCIA WSTĘPNE
Macierzą nazywamy zbiór elementów, uporządkowanych w postaci prostokątnej tablicy, zawierającej
n wierszy oraz m kolumn
A = [ ai j ] n × m
a11
a21
=
...
a
n1
a12
a22
...
an 2
... a1m
... a2 m
... ... .
... an m
(1)
Liczby
ai j ( i = 1, 2, ..., n ; j = 1, 2, ..., m)
oznaczają elementy macierzy, odpowiadające wierszowi o numerze i oraz kolumnie o numerze
j. Elementy macierzy mogą być liczbami rzeczywistymi, zespolonymi lub macierzami. Macierz
podzieloną na "bloki", czyli podmacierze, poziomymi i pionowymi liniami przebiegającymi między
wierszami i między kolumnami, nazywamy macierzą blokową.
Je eli n ≠ m, to macierz nazywamy macierzą prostokątną wymiaru n × m . Je eli n = m, to macierz
nazywamy macierzą kwadratową stopnia n. Macierz o wymiarze 1 × m nazywa się wektorem
wierszowym. Macierz o wymiarze n × 1 nazywa się wektorem kolumnowym. Skalar mo na rozwa ać
jako macierz o wymiarze 1 × 1. Macierzą pełną nazywamy macierz, której wszystkie elementy są ró ne
od zera. Macierzą gęstą nazywamy macierz, która zawiera niewiele elementów zerowych. Macierz,
która zawiera du o elementów zerowych nazywamy macierzą rzadką. Macierz, której wszystkie
elementy są zerami nazywamy macierzą zerową.
Najczęściej występującymi macierzami w metodach obliczeniowych są macierze kwadratowe.
Z macierzami kwadratowymi stopnia n
a11
a21
A=
...
a n1
a12
...
a22
...
...
...
an 2
...
a1n
a2 n
...
an n
(2)
są związane następujące pojęcia:
- przekątna główna - zbiór elementów aii (i = 1, 2, ..., n),
- przekątna poboczna - zbiór elementów o numerach ai ,1 , ai +1,2 , ..., an , n−i +1 dla i 1 lub zbiór
elementów o numerach a1,k , a2 ,k +1 , ..., an− k +1, n dla k 1,
- ślad macierzy: suma elementów le ących na przekątnej głównej, oznaczana symbolem Sp A
n
Sp A = ∑ ai i .
i =1
(3)
W zale ności od warunków jakie spełniają elementy macierz kwadratowa stopnia n mo e
w szczególnym przypadku być:
a) symetryczna
ai j = a j i (i , j = 1, 2, ..., n),
(4)
ai i = 0, ai j = − a j i (i , j = 1, 2, ..., n),
(5)
b) skośnie symetryczna
c) trójkątna górna
ai j = 0 ( j i ; i , j = 1, 2, ..., n),
(7)
d) trójkątna dolna
e) pasmowa - elementy niezerowe występują tylko na kilku przekątnych,
f) diagonalna
d 1
0
A=
...
0
0
0
d2
0
...
...
...
...
0
0
...
0
0
...
1
0
...
...
...
...
0
0
0
0
= diag ( d1 , d 2 , ..., d n ),
...
dn
...
...
(8)
g) jednostkowa
1
0
E=
...
0
0
0
... .
1
(9)
Symetryczną macierz kwadratową (4) nazywamy dodatnio określoną, je eli odpowiadająca
jej forma kwadratowa
n
n
u ( x1 , x2 , ..., xn ) = ∑ ∑ ai j xi x j
i =1 j = 1
(10)
jest dodatnio określona tzn., gdy jej wartości są dodatnie, a wartość zero przyjmuje tylko dla zerowych
wartości wszystkich zmiennych
u (0, 0, ..., 0) = 0.
Z ka dą macierzą kwadratową A
(…)
… dla wektora kolumnowego
a11
a21
A=
...
an1
macierz transponowana
AT
(24)
jest wektorem wierszowym
AT = [ a11 , a21 , ..., an1 ].
(25)
Własności operacji transponowania macierzy:
T
a) ( A ) = A ,
T
b) ( A + B)
T
= AT + BT ,
T
c) ( AB) = A T B T .
Macierz symetryczna (4) jest równa swej macierzy transponowanej
AT = A,
(26)
iloczyn macierzy kwadratowej A i jej macierzy transponowanej
AT
C = AA T
(27)
jest macierzą symetryczną, gdy
(
CT = AA T
) = (A )
T
T T
A T = AA T .
Jeśli macierz A jest macierzą kwadratową to
det A T = det A .
(28)
7. Odwracanie macierzy. Dla ka dej nieosobliwej macierzy kwadratowej A mo na wyznaczyć jedną
i tylko jedną macierz A −1 taką, e
A A −1 = A −1 A = E .
(29)
Macierz A nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A. Tak więc macierz dana i macierz…
… A + C B ,
gdzie A , B i C są macierzami, α - liczbą.
Je eli A B = B A, to o macierzach A i B mówimy, e są macierzami przemiennymi. Łatwo mo na
sprawdzić, e macierz jednostkowa E jest macierzą przemienną z dowolną macierzą kwadratową A tego
samego stopnia
AE=EA=A.
(20)
Ponadto dla dwóch macierzy kwadratowych tego samego stopnia otrzymujemy zale ność
det ( AB ) = det ( B A ) = det A ⋅ det B .
(21)
5…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)