Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy. Układy równań liniowych. Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy, macierz odwrotna

Nasza ocena:

5
Pobrań: 28
Wyświetleń: 1022
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy. Układy równań liniowych. Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy, macierz odwrotna - strona 1 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy. Układy równań liniowych. Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy, macierz odwrotna - strona 2 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy. Układy równań liniowych. Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy, macierz odwrotna - strona 3

Fragment notatki:


Wykłady 3 i 4. Poj˛ecia przestrzeni wektorowej i macierzy. Układy równa´n liniowych.Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mno˙zenie macierzy; macierz odwrotna. 7 marca 2011 Przestrze ´n R k R k  = R  ×  R  × . . .  R k  razy Elementy R k  — wektory; x  =      x 1 x 2 .. . xk      Przyjmujemy konwencj˛e: elementy R k  s ˛ a wektorami kolumnowymi; Wygodniejszy zapis: x  = ( x 1 , x 2 , . . . , xk )  ∈  R k Operator „ ” przekształca wektor wierszowy w wektor kolumnowy o tych samych współrz˛ednych (i na odwrót). Operacje na wektorach Niech  a ∈  R,  y  = ( y 1 , y 2 , . . . , yk )  ∈  R k  oraz  z  = ( z 1 , z 2 , . . . , zk )  ∈  R k . Definiujemy ay  =( ay 1 , ay 2 , . . . , ayk ) ; (1) y  +  z  =( y 1 +  z 1 , . . . , yk  +  zk )  . (2) Przestrzenie liniowe Mówimy, ˙ze pozdzbór  V  przestrzeni R k  jest przestrzeni ˛ a liniow ˛ a, je´sli dla dowolnych y, z ∈ V  i  a 1 , a 2  ∈  R a 1 y  +  a 2 z ∈ V. Przykłady: przestrzeniami liniowymi s ˛ a zbiory: •  X 1 =  { 0 }  jest przestrzeni ˛ a liniow ˛ a; •  X 2 =  {cx, c ∈  R }  gdzie  x  jest dowolnym ustalonym wektorem R k  . 1 Nie jest przestrzeni ˛ a liniow ˛ a  X 3 =  { 5 } . Uwaga Istniej ˛ a przestrzenie liniowe, które nie s ˛ a podzbiorami R k  (dla ˙zadnego  k ). Np. zbiór wielomianów stopnia mniejszego lub równego 2 jest przestrzeni ˛ a liniow ˛ a. Iloczyn skalarny wektorów w R k Iloczyn skalarny wektorów  x  = ( x 1 , . . . , xk ) oraz  y  = ( y 1 , . . . , yk ) (oznaczony symbolem  ) okre´slamy wzorem: =  x 1 y 1 +  . . .  +  xkyk. Długo´s´c wektora  x ∈  R k  definiujemy wzorem √   = x 2 1 +  x 2 2 +  . . .  +  x 2 k . Metryk˛e euklidesow ˛ a definiujemy wzorem: dE ( x, y ) = √ . Równie˙z metyryki: miejska i centrum mog ˛ a by´c zdefiniwane dla R k  w sposób analo- giczny jak dla R 2. Układ równa ´n z dwoma niewiadomymi Rozwa˙zmy układ równa´n z dwoma niewiadomymi: a 11 x  +  a 12 y  =  h 1 a 21 x  +  a 22 y  =  h 2 . a 11 , a 12 , a 21 , a 22 s ˛ a znane,  x  i  y  s ˛ a niewiadomymi. Je˙zeli pierwsze z równa´n pomno˙zymy przez  a 22 a drugie przez  a 12 ,  a nast˛epnie odej- miemy drugie równanie od pierwszego, otrzymamy: ( a 11 a 22  − a 12 a 21) x  =  h 1 a 22  − h 2 a 12 . Je´sli  a 11 a 22  − a 12 a 21 = 0 ,  to x  = h 1 a 22  − h 2 a 12 a 11 a 22  ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz