To tylko jedna z 7 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykłady 3 i 4. Poj˛ecia przestrzeni wektorowej i macierzy. Układy równa´n liniowych.Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mno˙zenie macierzy; macierz odwrotna. 7 marca 2011 Przestrze ´n R k R k = R × R × . . . R k razy Elementy R k — wektory; x = x 1 x 2 .. . xk Przyjmujemy konwencj˛e: elementy R k s ˛ a wektorami kolumnowymi; Wygodniejszy zapis: x = ( x 1 , x 2 , . . . , xk ) ∈ R k Operator „ ” przekształca wektor wierszowy w wektor kolumnowy o tych samych współrz˛ednych (i na odwrót). Operacje na wektorach Niech a ∈ R, y = ( y 1 , y 2 , . . . , yk ) ∈ R k oraz z = ( z 1 , z 2 , . . . , zk ) ∈ R k . Definiujemy ay =( ay 1 , ay 2 , . . . , ayk ) ; (1) y + z =( y 1 + z 1 , . . . , yk + zk ) . (2) Przestrzenie liniowe Mówimy, ˙ze pozdzbór V przestrzeni R k jest przestrzeni ˛ a liniow ˛ a, je´sli dla dowolnych y, z ∈ V i a 1 , a 2 ∈ R a 1 y + a 2 z ∈ V. Przykłady: przestrzeniami liniowymi s ˛ a zbiory: • X 1 = { 0 } jest przestrzeni ˛ a liniow ˛ a; • X 2 = {cx, c ∈ R } gdzie x jest dowolnym ustalonym wektorem R k . 1 Nie jest przestrzeni ˛ a liniow ˛ a X 3 = { 5 } . Uwaga Istniej ˛ a przestrzenie liniowe, które nie s ˛ a podzbiorami R k (dla ˙zadnego k ). Np. zbiór wielomianów stopnia mniejszego lub równego 2 jest przestrzeni ˛ a liniow ˛ a. Iloczyn skalarny wektorów w R k Iloczyn skalarny wektorów x = ( x 1 , . . . , xk ) oraz y = ( y 1 , . . . , yk ) (oznaczony symbolem ) okre´slamy wzorem: = x 1 y 1 + . . . + xkyk. Długo´s´c wektora x ∈ R k definiujemy wzorem √ = x 2 1 + x 2 2 + . . . + x 2 k . Metryk˛e euklidesow ˛ a definiujemy wzorem: dE ( x, y ) = √ . Równie˙z metyryki: miejska i centrum mog ˛ a by´c zdefiniwane dla R k w sposób analo- giczny jak dla R 2. Układ równa ´n z dwoma niewiadomymi Rozwa˙zmy układ równa´n z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 . a 11 , a 12 , a 21 , a 22 s ˛ a znane, x i y s ˛ a niewiadomymi. Je˙zeli pierwsze z równa´n pomno˙zymy przez a 22 a drugie przez a 12 , a nast˛epnie odej- miemy drugie równanie od pierwszego, otrzymamy: ( a 11 a 22 − a 12 a 21) x = h 1 a 22 − h 2 a 12 . Je´sli a 11 a 22 − a 12 a 21 = 0 , to x = h 1 a 22 − h 2 a 12 a 11 a 22
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)