WIADOMOŚCI WSTĘPNE 1. P ODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE Definicja D ziałaniem 2-argumentowym na niepustym zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie Wartość f ( a,b ) nazywamy rezultatem (wynikiem) działania f na elementach a , b ze zbioru A. Jeśli f jest działaniem w A, X ⊆ A oraz dla dowolnych elementów x, y ∈ X f (x,y) ∈ X, to mówimy, że zbiór X jest zamknięty ze względu na działanie f. Możemy wtedy zdefiniować działanie g na X, g (x,y) := f (x,y), dla x, y ∈ X. Przykłady : + , −, ⋅ są działaniami w zbiorze liczb rzeczywistych R. Podzbiór N zbioru R jest zamknięty ze względu na + oraz ⋅ a nie jest zamknięty ze względu na −. Definicja G rupą nazywamy parę (G,•), gdzie G jest niepustym zbiorem a • jest działaniem 2-argumentowym w G, takim że następujące warunki są spełnione: G1. x•(y•z) = (x•y) •z (łączność •) G2. x•e = e•x = x (istnienie elementu neutralnego)
G3. x•x -1 = x -1 •x = e (istnienie elementu odwrotnego).
Przykłady : (R,+), (Q,+), (Z,+), (r-{0}, ⋅ ), ({ x∈R; x 0}, ⋅} 1.6. Definicja . Niech (G,•) będzie grupą a H podzbiorem G, takim że e ∈ H oraz dla dowolnych x, y ∈ H element x•y ∈ H. Jeżeli H wraz z działaniem • grupy (G,•) jest grupą to mówimy, że (H,•) jest podgrupą grupy (G,•). TWIERDZENIE. Niech (G,•) będzie grupą a H niepustym podzbiorem G . (H,•) jest podgrupą grupy (G,•) wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych x, y ∈ H element x•y -1 ∈ H. 1 . 7 . DEFINICJA. Ciałem nazywamy trójkę (K,+, ⋅), taką że C1. (K,+) jest grupą przemienną z elementem neutralnym 0.
C2. (K-{0},⋅) jest grupą przemienną .
C2. x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z (rozdzielność mnożenia względem dodawania).
1 . 8. PRZYKŁADY. Ciało liczb rzeczywistych (R, +, ⋅), ciało liczb wymiernych (Q,+, ⋅). 2. GRUPY PERMUTACJI Niech A = {1, ...,n} oraz S n := {f: A → A, f odwracalne}. Wtedy (S n, •) gdzie • jest składanie odwzorowań jest grupą. Nazywamy ją grupą permutacji zbioru n-elementowego A. Niech a, b ∈ A oraz a ≠ b. Transpozycją nazywamy permutację τ ∈ S n zdefiniowaną następująco τ(x) = . Permutację τ oznaczamy .
TWIERDZENIE. Każdą permutację ze zbioru S n można przedstawić jako złożenie skończonej liczby transpozycji.
TWIERDZENIE. Każdą transpozycję można przedstawić jako złożenie nieparzystej liczby transpozycji wyrazów sąsiednich ( )
(…)
…, to (-1)r = (-1)s.
DEFINICJA. Niech σ ∈ Sn i σ = gdzie są transpozycjami z Sn. Liczbę (-1)r nazywamy znakiem permutacji σ i oznaczamy sgnσ. Jeśli sgnσ = 1 to permutację σ nazywamy permutacją parzystą, Jeśli sgnσ = -1 to permutację σ nazywamy permutacją nieparzystą, 3. LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez C. Mamy zatem C:= {z=(x,y) : x,y ∈ R}. Niech z1 = (x1,y1), z2 = (x2,y2) będą liczbami zespolonymi. Sumę liczb zespolonych określamy wzorem: z1 + z2 := (x1 + x2, y1 + y2).
Iloczyn liczb zespolonych określamy wzorem: z1 ⋅ z2 := (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1).
FAKT (Własności działań w zbiorze liczb zespolonych). Niech z = (x,y) oraz z1, z2, z3 będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy
dodawanie liczb…
… operacji elementarnych na wierszach. Jeśli f(AI) = (IB), to B = A-1. Podobnie jeśli g jest złożeniem skończonej liczby operacji elementarnych na kolumnach i g, to B = A-1.
2.4 DEFINICJA. Macierzą elementarną nazywamy każdą macierz otrzymaną w wyniku wykonania jednej elementarnej operacji na wierszach macierzy jednostkowej.
TWIERDZENIE. Niech E będzie macierzą elementarną. Wtedy
E jest macierzą…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)