Algebra, funkcje - wykład 2

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 742
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Algebra, funkcje - wykład 2 - strona 1 Algebra, funkcje - wykład 2 - strona 2 Algebra, funkcje - wykład 2 - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 2    Funkcje    Definicja   Relację     f   ⊆  X  ×Y    nazywamy   funkcj ą,  odwzorowującą  zbiór  X  w  zbiór  Y,  je eli  spełnia warunki:   •   ∀(x ∈ X ) ∃ (y ∈ Y) [ (x, y) ∈  f  ]  •   ∀(x ∈ X ) ∀(y1, y2 ∈ X ) [ (x, y1) ∈  f   ∧ (x, y2) ∈  f    ⇒  y1 = y2  ]  f  : X → Y      Przykłady           1. Relacja   R   = { ( x ,  y ) ∈  R 2 |   x  + y  = 5 } jest funkcją, poniewa  jeśli   x  + y 1 = 5  oraz   x  + y 2 = 5,  to stąd wynika,  e  y 1 =  y 2.          2. Relacja   R   = { ( x , y ) ∈  R 2 |   x 2 + y 2 ≤ 5 },  nie jest funkcją, bowiem  pary (0,2) i  (0, -2) nale ą do  R.              Pierwszy element pary  ( x , y ) ∈  f   nazywa się  argumentem , a drugi element pary ( x , y ) ∈  f  nazywamy  warto ś ci ą (lub  obrazem ) funkcji   f   dla argumentu  x:     f  ( x ) =  y     f  =  g   ⇔  ∀( x  ∈ X ) ∀( y  ∈ Y) [ ( x , y ) ∈  f   ⇔   ( x , y ) ∈  g ].    Definicja   Funkcję   f   nazywamy  ró nowarto ś ciow ą lub  injekcj ą, je eli:    ∀ ( x 1,  x 2 ∈ X ) [  f  ( x 1) =  f  ( x 2)  ⇒   x 1 =  x 2 ].    To znaczy,  e    ∀ ( x 1,  x 2 ∈ X ) [  x 1 ≠  x 2   ⇒    f  ( x 1) ≠  f  ( x 2) ]          Przykłady          1.   y  =  f  ( x ) =  x 2 nie  jest injekcją, poniewa                      f (-1) =  f (1) = 1, ale 1 ≠ -1.          2.    y  =  f  ( x ) =  x 3    jest injekcją.    Definicja    Funkcje   f   nazywamy  surjekcj ą,  je eli  ∀ ( y  ∈ Y ) ∃ ( x  ∈ X) [  y  =  f  ( x ) ],          Przykłady           1.            2.  y  =  f  ( x ) =  x 2  nie  jest surjekcją.           3.  y  =  f  ( x ) =  x 3  jest surjekcją.    Definicja    Funkcję   f       nazywamy     bijekcj ą      lub   odwzorowaniem  wzajemnie  jednoznacznym na ,  je eli jest ona jednocześnie surjekcją i injekcją.    Mówimy w tym przypadku,  e funkcja   f    przekształca zbiór X na zbiór Y w sposób  wzajemnie jednoznaczny .        Przykłady      1. X ={ a ,  b ,  c ,  d }, Y={1, 2, 3, 4}                f ( a )=2;  f ( b )=3;  f ( c )=1;  f ( d ) =4.         2.    y  =  f  ( x ) =  x 3  jest  bijekcją.     Bijekcja spełnia warunek:  ∀ ( y  ∈ Y ) ∃ ( x  ∈ X) [  y  =  f  ( x ) ]. 

(…)

… elementem neutralnym lub elementem
jednostkowym działania •, gdy
e•x=x•e=x.
dla ∀x ∈X
◘ Twierdzenie 2.1.
Dla dowolnego działania • w zbiorze X istnieje co najwy ej jeden element
neutralny tego działania.
Dowód.
Niech e1, e2 ∈ X są elementami neutralnymi względem działania •. Wtedy z
definicji mamy
e1•e2 = e1 oraz e1•e2 = e2,
skąd e1 = e2, co oznacza e istnieje co najwy ej jeden element neutralny. ♦
☼ Definicja
Element y ∈ X nazywamy elementem odwrotnym do elementu x ∈ X
względem działania •, gdy zachodzi x•y=y•x=e, gdzie e∈ X jest elementem
neutralnym działania •.
◘ Twierdzenie 1.2.
Dla dowolnego łącznego działania • w zbiorze X i dowolnego elementu x ∈ X
istnieje co najwy ej jeden element odwrotny.
Dowód.
Niech element e ∈ X będzie elementem neutralnym działania •, a
elementy y, z ∈ X są elementami…
… odwrotną
f –1 : Y → X,
nazywamy funkcją odwrotną.
f –1(f (x)) = x,
f (f –1(y)) = y,
( f –1) –1 = f .
Przykłady
y = f (x) = x3
x = f –1 (y) =
3
y.
Struktury algebraiczne
Ka dą funkcją f: X×X →X nazywamy działaniem binarnym, lub działaniem
algebraicznym, (lub krótko działaniem) w zbiorze X.
Je eli zbiór jest skończony X = {x1, x2, ..., xn}, to dowolne działanie • jest w
pełni określone, jeśli dla ka dej…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz