Wykład 2 Funkcje Definicja Relację f ⊆ X ×Y nazywamy funkcj ą, odwzorowującą zbiór X w zbiór Y, je eli spełnia warunki: • ∀(x ∈ X ) ∃ (y ∈ Y) [ (x, y) ∈ f ] • ∀(x ∈ X ) ∀(y1, y2 ∈ X ) [ (x, y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f ⇒ y1 = y2 ] f : X → Y Przykłady 1. Relacja R = { ( x , y ) ∈ R 2 | x + y = 5 } jest funkcją, poniewa jeśli x + y 1 = 5 oraz x + y 2 = 5, to stąd wynika, e y 1 = y 2. 2. Relacja R = { ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 5 }, nie jest funkcją, bowiem pary (0,2) i (0, -2) nale ą do R. Pierwszy element pary ( x , y ) ∈ f nazywa się argumentem , a drugi element pary ( x , y ) ∈ f nazywamy warto ś ci ą (lub obrazem ) funkcji f dla argumentu x: f ( x ) = y f = g ⇔ ∀( x ∈ X ) ∀( y ∈ Y) [ ( x , y ) ∈ f ⇔ ( x , y ) ∈ g ]. Definicja Funkcję f nazywamy ró nowarto ś ciow ą lub injekcj ą, je eli: ∀ ( x 1, x 2 ∈ X ) [ f ( x 1) = f ( x 2) ⇒ x 1 = x 2 ]. To znaczy, e ∀ ( x 1, x 2 ∈ X ) [ x 1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1) ≠ f ( x 2) ] Przykłady 1. y = f ( x ) = x 2 nie jest injekcją, poniewa f (-1) = f (1) = 1, ale 1 ≠ -1. 2. y = f ( x ) = x 3 jest injekcją. Definicja Funkcje f nazywamy surjekcj ą, je eli ∀ ( y ∈ Y ) ∃ ( x ∈ X) [ y = f ( x ) ], Przykłady 1. 2. y = f ( x ) = x 2 nie jest surjekcją. 3. y = f ( x ) = x 3 jest surjekcją. Definicja Funkcję f nazywamy bijekcj ą lub odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym na , je eli jest ona jednocześnie surjekcją i injekcją. Mówimy w tym przypadku, e funkcja f przekształca zbiór X na zbiór Y w sposób wzajemnie jednoznaczny . Przykłady 1. X ={ a , b , c , d }, Y={1, 2, 3, 4} f ( a )=2; f ( b )=3; f ( c )=1; f ( d ) =4. 2. y = f ( x ) = x 3 jest bijekcją. Bijekcja spełnia warunek: ∀ ( y ∈ Y ) ∃ ( x ∈ X) [ y = f ( x ) ].
(…)
… elementem neutralnym lub elementem
jednostkowym działania •, gdy
e•x=x•e=x.
dla ∀x ∈X
◘ Twierdzenie 2.1.
Dla dowolnego działania • w zbiorze X istnieje co najwy ej jeden element
neutralny tego działania.
Dowód.
Niech e1, e2 ∈ X są elementami neutralnymi względem działania •. Wtedy z
definicji mamy
e1•e2 = e1 oraz e1•e2 = e2,
skąd e1 = e2, co oznacza e istnieje co najwy ej jeden element neutralny. ♦
☼ Definicja
Element y ∈ X nazywamy elementem odwrotnym do elementu x ∈ X
względem działania •, gdy zachodzi x•y=y•x=e, gdzie e∈ X jest elementem
neutralnym działania •.
◘ Twierdzenie 1.2.
Dla dowolnego łącznego działania • w zbiorze X i dowolnego elementu x ∈ X
istnieje co najwy ej jeden element odwrotny.
Dowód.
Niech element e ∈ X będzie elementem neutralnym działania •, a
elementy y, z ∈ X są elementami…
… odwrotną
f –1 : Y → X,
nazywamy funkcją odwrotną.
f –1(f (x)) = x,
f (f –1(y)) = y,
( f –1) –1 = f .
Przykłady
y = f (x) = x3
x = f –1 (y) =
3
y.
Struktury algebraiczne
Ka dą funkcją f: X×X →X nazywamy działaniem binarnym, lub działaniem
algebraicznym, (lub krótko działaniem) w zbiorze X.
Je eli zbiór jest skończony X = {x1, x2, ..., xn}, to dowolne działanie • jest w
pełni określone, jeśli dla ka dej…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)