Definicja Superpozycją (złożeniem) odwzorowanie f:X→Y i g:Y→Z nazywamy takie odwzorowanie g°f:X→Z , które spełnia warunek ∀x∈X (g°f)(x)=g[f(x)]
Definicja Odwzorowanie f:X→Y nazywamy odwracalnym, jeżeli istnieje taka funkcja g:Y→X, Ze spełnione są warunki: f°g=idy ∧ g°f=idx (id X→X:id(x)=x). Odwzorowanie odwrotne do odwzorowania f oznaczamy f ∀x∈X f [f(x)]=x i ∀y∈Y f [f(y)]=y .Odwzorowanie f jest odwracalne ⇔ gdy jest bijekcją.
Definicja Jeżeli spełniony jest warunek ∃e∈A ∀a∈A e#a=a#e=a to element e nazywamy elementem neutralnym, a półgrupę - półgrupą unitarną.
Definicja Półgrupę unitarną komutatywną, w której każdy element ma element symetryczny, tzn. ∀A ∃a'∈A a#a'=a'#a=e nazywamy grupą abelową.
Definicja Trójką (A,#,°)[gdzie #,°-dwa działania wewnętrzne w niepustym zbiorze A] spełniającą warunki:
1.para (A,#)- jest grupą abelową
2.para (A,°)- jest półgrupą
3. działanie „°” jest dystrybutywne ( rozdzielne ) względem działania „#” tzn. ∀a,b,c∈A (a#b)°c=(a°c)#(b°c) c°(a#b)=(c°a)#(c°b) nazywamy pierścieniem.
Definicja ciała Pierścień całkowity, w którym każdy element niezerowy ma element symetryczny (względem drugiego działania) nazywamy ciałem. Elementy ciała nazywamy liczbami albo skalarami.
Definicja przestrzeni liniowej (wektorowej) Niech V=(A,+) [będzie grupą abelową], K dowolnym ciałem zaś S:K×V→V odwzorowaniem, które parze elementów (α,V)∈ K×V będziemy oznaczać S(α,V)=αV. Trójkę (V,K,S), która spełnia warunki:
1.∀α∈K ∀a,b,c∈V α(a+b)=αa+αb
2.∀α,β∈K ∀a∈V (α+β)a=αa+βa
3.∀α,β∈K ∀a∈V (αβ)a=α(βa)
4.∀a∈V 1a=a - nazywamy przestrzenią liniową, przestrzenią wektorową nad ciałem K i oznaczamy symbolem V(K). Elementy grupy V nazywamy wektorami, a odwzorowanie S, mnożeniem skalarów przez wektory.
Definicja Kombinacją liniową n wektorów a ,a ,...,a z przestrzeni wektorowej [∈V(K)] o współczynnikach nazywamy element przestrzeni V postaci .
Definicja Wektory a ,a ,...,a ∈V(K) są liniowo zależne ⇔ gdy przynajmniej jeden z nich da się przedstawić jako kombinacja liniowa pozostałych.
Dowód: Wektory a ,a ,...,a są liniowo zależne ⇒ ale istnieje α ≠0 ⇒ = ⇒ ⇐wynika, że jeden z wektorów da się przedstawić jako kombinacja pozostałych.⇐ ⇒ . Kombinacja jest nietrywialna ponieważ β =-1≠0, czyli wektory są liniowo zależne.
Definicja Bazą przestrzeni liniowej V(K) nazywamy niepusty jej podzbiór, którego wektory e
(…)
…(z).
Twierdzenie d'Alamberta
Każdy wielomian w dziedzinie zespolonej stopnia n≥1 ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
Wielomiany w liczbie zespolonej
Twierdzenie
Jeżeli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu p o wspólczynnikach rzeczywistych, to również pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba sprężona .
Funkcje wymierne
Twierdzenie
Każdą funkcję wymierną właściwą można przedstawić w postaci sumy…
…. Ilość elementów w bazie nazywamy wymiarem przestrzeni i oznaczamy symbolem dimV. ∀∋a= - rozkład wektora w bazie {e }
Liczby zespolone
Twierdzenie 1
Jeżeli liczby zespolone z i z' są różne od zera, a ϕ i ϕ są dowolnymi argumentami tych liczb, to suma ϕ +ϕ jest argumentem iloczynu zz' zaś różnica ϕ -ϕ jest argumentem ilorazu Twierdzenie 2 (wzory Moivre'a)
Jeżeli liczba zespolona z jest różna od zera, a ϕ…
… A nazywamy liczbę określoną wzorem A :=(-1) M Definicja
Macierz kwadratową A nazywamy macierzą nieosobliwą jeśli jej wyznacznik jest różny od 0; jeśli detA=0, to A nazywamy macierzą osobliwą.
Definicja
Jeżeli macierze A,B∈ oraz AB=BA=E to macierz B nazywamy odwrotną do macierzy A i oznaczamy ją symbolem A .
Twierdzenie
Macierz A ma macierz odwrotną ⇔ gdy jest macierzą nieosobliwą.
Dowód: ⇒istnieje A ⇒AA…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)