Przestrzeń liniowa - algebra, jaką tworzy zbiór V oraz ciało S, gdzie:
S - ciało przemienne zwane ciałem skalarów (zazwyczaj R lub C)
V - zbiór, w którym określone są następujące działania:
⊕∈Fun(V×V,V)
∈Fun(S×V,V)
takie, że
1. - grupa abelowa z elementem neutralnym Θ (theta)
2. r,s ∈S ∧ v∈V mamy
1v = v
r(sv) = (r*s)v
3. r,s ∈S ∧ v,u∈V mamy
(r+s)v = (rv) ⊕ (sv)
s(v ⊕ u) = (sv) ⊕ (su)
Własności wektor ów w przestrzeni liniowej :
1. v∈V: 0v = Θ, Θ - wektor zerowy
2. v∈V ω∈V: v ⊕ ω = Θ, ω = -v ω - wektor przeciwny
3. sv = Θ ⇒ s = 0 ∨ v = Θ, s∈S, v∈V
Podprzestrzeń liniowa X przestrzeni liniowej Y - podzbiór przestrzeni liniowej Y.
X⊂Y
69. Kombinacja liniowa wektorów, powłoka liniowa.
Kombinacja liniowa - v = s 1 v 1 ⊕ s 2 v 2 ⊕ ... ⊕ s n v n , s i ∈S, i =
Powłoka liniowa (rozpięta nad wektorami v 1 do v n ) - zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v 1 do v n należących do przestrzeni V.
span{v 1 ... v n } = {v∈V: v = s 1 v 1 +s 2 v 2 +...+s n v n , s 1 , ... , s n ∈ S}
O powłoce liniowej mówi się też, że jest to przestrzeń rozpięta na wektorach v 1 ... v n .
70. Liniowa niezależność wektorów, układy liniowo równoważne i liniowo niezależne, twierdzenie Steinitza.
Liniowa niezależność wektorów - wektory v 1 do v n należące do przestrzeni V są liniowo niezależne jeżeli
s i v i = Θ ⇔ s 1 = s 2 = ... = s n = 0
Wniosek: Θ∈V ⇒ V - liniowo zależny
Układy liniowo równoważne - układy wektorów są liniowo równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzenie rozpięte na wektorach obu układów są sobie równe (zbiory wszystkich kombinacji liniowych wektorów obu układów są sobie równe)
XY ⇔ span(Y) = span(X) X,Y - zbiory wektorów
span(X), span(Y) - przestrzenie rozpięte na wektorach ze zbioru X, Y
Układy liniowo niezależne - układ wektorów jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wektory układu są liniowo niezależne (→liniowa niezależność wektorów).
Twierdzenie Steinitza : Jeżeli X i Y są układami liniowo niezależnych wektorów oraz span(X)⊂span(Y), lecz span(X)≠span(Y) to układ X można uzupełnić do układu wektorów Z takiego, że Z jest liniowo niezależny, X⊂Z i span(Z)=span(Y).
Jeżeli X i Y są układami liniowo niezależnych wektorów oraz liniowo równoważnymi to są one
(…)
… wymiarowi przestrzeni.
Wektor własny przekształcenia (macierzy) - Wartość własna macierzy - Wielomian charakterystyczny - 73. Wektor w przestrzeni trójwymiarowej, iloczyn skalarny wektorów, iloczyn wektorowy, iloczyn mieszany, norma przestrzeni liniowej, tożsamość Jacobiego, tożsamość Laplace'a.
Wektor w przestrzeni trójwymiarowej - Iloczyn skalarny wektorów - liczba równa iloczynowi długości tych wektorów przez cosinus kąta α zawartego między tymi wektorami.
a*b = b*a =a*bcos α , a*b = b*a = axbx + ayby Iloczyn wektorowy a×b - wektor c prostopadły do wektorów a, b o długości c=a*bsin α (α - kąt zawarty między wektorami a, b). Do określenia zwrotu stosuje się zasadę prawej dłoni (wszystkie palce wskazują zwrot wektora a, kciuk - wektora b; wektor c ma zwrot z wnetrza dłoni do jej zewnętrza)
c = a×b, a×b = -b×a
, i, j, k - wektory jednostkowe
, , Iloczyn mieszany (a×b)*c - liczba równa Interpretacja geometryczna - objętość równoległościanu, którego krawędziami są a, b, c.
a, b, c są komplanarne (współpłaszczyznowe) ⇔ (a×b)*c = 0
Norma w przestrzeni liniowej - liczba rzeczywista spełniająca następujące warunki:
1. ≥ 0 , = 0 ⇔ v = Θ
2. ≤ +
3. ∀s∈S: = s*
Tożsamość Jacobiego
a×(b×c) + b×(c×a) + c…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)