Jądro i obraz przekształcenia liniowego Jeżeli f :V → W jest przekształceniem liniowym, to zbiór Ker f = {v ∈V : f (v) = 0} jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej V , a zbiór Im f = { f (v) : v ∈V } jest podprzestrzenią ...
Przekształcenia liniowe Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K . Funkcję przekształceniem liniowym, jeżeli spełnione są następujące warunki: f :V → W ...
ulamki proste Definicja. Funkcj¸ wymiern¸ rzeczywist¸ (zespolon¸) nazywamy iloraz dw´ch wieloa a a a o mian´w rzeczywistych (zespolonych) taki, ze dzielnik nie jest wielomianem zerowym, tzn. o ˙ funkcja wymierna rzeczywista (zespo...
Wartości i wektory własne przekształcenia liniowego Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K i niech f będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w siebie (...
WYKŁAD 1 - STRUKTURA ALGEBRAICZNA I LICZBY ZESPOLONE Definicja (działanie wewnętrzne, struktura algebraiczna) Działaniem wewnętrznym dwuargumentowym określonym (wykonalnym) w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję Przyjmujemy oznacze...
Wykład 3- Własności wyznaczników det AT = det A. Jeżeli w wyznaczniku zamienimy miejscami dwa dowolne wiersze (kolumny), to wartość wyznacznika zmieni się na przeciwną. Aby wyznacznik pomnożyć przez liczbę należy wszystkie elementy dowolnego wiersza (kolumny) pomnożyć przez tę liczbę. Jeżeli w wy...
WYKŁAD 4 - rząd macierzy Definicja (rząd macierzy) Niech mówimy, że rzędem macierzy A jest liczba t, rzA = t jeśli istnieje minor macierzy A stopnia t, różny od zera oraz każdy minor stopnia większego niż t jest równy zero. Twierdzenie Niech oraz oznaczają kolumny A to Własności rzędu macierzy ...
WYKŁAD 5 - przekształcenia Definicja (jądro i obraz przekształcenia g) Jeśli jest przekształceniem liniowym , to zbiór nazywamy jądrem . Zbiór ten jest przestrzenią liniową (podprzestrzenią liniową ), a nazywamy defektem i oznaczamy . ...
Wykład 6 - Płaszczyzna i prosta. Równania parametryczne płaszczyzny. Niech P(x,y,z) będzie dowolnym punktem płaszczyzny , Zatem wektory [x-x0,y-y0,z-z0]T oraz u i v są komplanarne, a to oznacza, że są liniowo zależne. Istnieją wi...
Wykład 7 - GEOMETRIA Wektory w przestrzeni Rn. Długość wektora a którą oznaczać będziemy a wyraża się wzorem |a| = Kątami kierunkowymi wektora a nazywamy kąty i jakie wektor a tworzy z kolejnymi osiami układy współrzędnych, zaś kosinusy tych kątów nazywamy kosinusami kierunkowymi wektora a. Ko...
