Płaszczyzna i prosta-wykład

Wykład 6 - Płaszczyzna i prosta.
Równania parametryczne płaszczyzny. Niech P(x,y,z) będzie dowolnym punktem płaszczyzny ,  Zatem wektory [x-x0,y-y0,z-z0]T oraz u i v są komplanarne, a to oznacza, że są liniowo zależne. Istnieją więc stałe t i s takie, że
tu + sv, gdzie t,sR.
gdzie t,sR.
Te równania skalarne nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny. Równanie ogólne płaszczyzny. Równaniu temu można nadać postać
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 (*)
lub Ax + By + Cz + D = 0. Ostatnie równanie nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny.
Weźmy pod uwagę wektor n = [A,B,C]T . Łatwo zauważyć, że jest on iloczynem wektorowym wektorów u i v : n = u  v = = [A,B,C]T Wektor n = [A,B,C]T nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny . . L.p.
wektor n
równanie
położenie płaszczyzny
A=0
By + Cz + D = 0
równoległa do osi Ox
B=B=0
Ax + Cz + D = 0
równoległa do osi Oy
C=0
Ax + By + D =0
równoległa do osi Oz
D=0
Ax + By + Cz =0
zawiera początek układu współrzędnych
A=B=0
Cz + D = 0 lub z=c
prostopadła do osi Oz, równoległa do plaszcz. Oxy A=C=0
By + D = 0 lub y=b
prostopadła do osi Oy, równoległa do plaszcz. Oxz
B=C=0
Ax + D = 0 lub x=a prostopadła do osi Ox, równoległa do plaszcz. Oyz
A=D=0
By + Cz = 0
zawiera oś Ox
B=D=0
Ax + Cz = 0
zawiera oś Oy
C=D=0
Ax + By = 0
zawiera oś Oz
A=B=D=0
z = 0
równanie płaszczyzny Oxy
A=C=D=0
y = 0
równanie płaszczyzny Oxz
B=C=D=0
x = 0
równanie płaszczyzny Oyz
,
Z równania normalnego łatwo można otrzymać wzór na odległość dowolnego punktu P0(x0,y 0,z0) od płaszczyzny określonej równaniem normalnym

(…)

… położenie dwóch prostych. Dane są dwie proste l1 i l2 wektory są równoległe
wektory nie są równoległe
proste mają punkt wspólny
proste pokrywają się
proste przecinają się
proste nie mają punktu wspólnego
proste równoległe
proste są skośne
Pęk płaszczyzn
(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)   Definicja (przekształcenie liniowe)Niech , będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem liczbowym K. Przekształcenie takie, że nazywamy przekształceniem liniowym.
Jeśli jest bazą oraz jest bazą , to macierz której kolumnami są odpowiednio współrzędne wektorów w bazie nazywamy macierzą przekształcenia w ustalonych bazach. W zapisie macierzowym oznacza to że .
…
... zobacz całą notatkę