WYKŁAD 4 - rząd macierzy
Definicja (rząd macierzy)
Niech mówimy, że rzędem macierzy A jest liczba t, rzA = t jeśli istnieje minor macierzy A stopnia t, różny od zera oraz każdy minor stopnia większego niż t jest równy zero.
Twierdzenie
Niech oraz oznaczają kolumny A to Własności rzędu macierzy
Poniższe operacje nie zmieniają rzędu macierzy (chociaż zmieniają samą macierz):
transpozycja
odrzucenie wiersza (kolumny) złożonego z samych zer
pomnożenie lub podzielenie wszystkich elementów pewnego wiersza (kolumny) przez tę samą liczbę różną od zera
dodanie do elementów pewnego wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonych przez tę samą liczbę
dodanie do elementów pewnego wiersza (kolumny) kombinacji liniowej odpowiednich elementów pozostałych wierszy (kolumn)
odrzucenie jednego z dwóch wierszy (kolumn) o odpowiednich elementach proporcjonalnych
odrzucenie wiersza (kolumny) będącego kombinacją liniową pozostałych wierszy (kolumn).
Twierdzenie Kroneckera Capelliego
Niech , , wówczas układ równań liniowych AX=B ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rzA=rz[A|B] gdzie [A|B] jest to macierz uzupełniona, powstała z A przez dopisanie do niej kolumny B (wyrazów wolnych) jako ostatniej.
Definicja (układ jednorodny)
Układ równań liniowych AX= nazywamy jednorodnym.
Twierdzenie
Zbiór jest przestrzenią liniową ( podprzestrzenią liniową ). Jej bazę nazywamy fundamentalnym układem rozwiązań równania jednorodnego AX= .
Twierdzenie
Jeżeli jest bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem liczbowym K to dla każdego wektora istnieje dokładnie jeden ciąg skalarów taki, że ciąg nazywamy współrzędnymi w bazie .
Twierdzenie
Każda niezerowa przestrzeń liniowa ma co najmniej jedną bazę i jednoznacznie wyznaczony wymiar.
Każdy układ liniowo niezależny wektorów V można uzupełnić do bazy przestrzeni liniowej V.
Definicja
Rozważmy przestrzeń liniową złożoną z n-elementowych ciągów o wyrazach z ciała liczbowego K. Układ wektorów takich, że (na i-tym miejscu jest 1) stanowi bazę . Nazywamy ją bazą kanoniczną.
Twierdzenie
Wektory stanowią bazę wtedy i tylko wtedy gdy .
Definicja
Macierzą przejścia od bazy kanonicznej do nowej bazy nazywamy macierz , której kolumnami są wektory . Macierz B jest nieosobliwa.
Definicja (przestrzeń afiniczna)
(…)
… jednego z dwóch wierszy (kolumn) o odpowiednich elementach proporcjonalnych
odrzucenie wiersza (kolumny) będącego kombinacją liniową pozostałych wierszy (kolumn).
Twierdzenie Kroneckera Capelliego
Niech , , wówczas układ równań liniowych AX=B ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rzA=rz[A|B] gdzie [A|B] jest to macierz uzupełniona, powstała z A przez dopisanie do niej kolumny B (wyrazów wolnych…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)