WYKŁAD 5 - przekształcenia Definicja (jądro i obraz przekształcenia g)
Jeśli jest przekształceniem liniowym , to zbiór nazywamy jądrem . Zbiór ten jest przestrzenią liniową (podprzestrzenią liniową ), a nazywamy defektem i oznaczamy .
Zbiór nazywamy obrazem . Ten zbiór również jest przestrzenią liniową (podprzestrzenią liniową ), nazywamy rzędem przekształcenia i oznaczamy .
Twierdzenie
Odwzorowanie jest różnowartościowe wtedy i tylko wtedy gdy . Ponadto oraz , gdzie jest macierzą w dowolnych bazach.
Twierdzenie
Niech oraz będzie macierzą przekształcenia przy ustalonych bazach oraz . Jeśli jest macierzą przejścia od bazy do nowej bazy natomiast jest macierzą przejścia od do nowej bazy , to macierzą w bazach i jest macierz postaci:
.
Definicja (wyznacznik macierzy przekształcenia)
Jeśli przekształcenie liniowe , to wyznacznikiem , nazywamy wyznacznik macierzy przekształcenia w dowolnych bazach.
Definicja (podprzestrzeń liniowa niezmiennicza)
Niech . Podprzestrzeń liniową nazywamy niezmienniczą względem odwzorowania liniowego jeśli Twierdzenie
Jeśli jest niezmiennicza, to istnieje skalar taki, że .
Definicja (wektor własny , wartość własna)
Wektor nazywamy wektorem własnym względem odwzorowania liniowego jeśli oraz jest podprzestrzenią niezmienniczą względem . Skalar taki, że nazywamy wartością własną.
Definicja (macierz charakterystyczna, wielomian charakterystyczny, równanie charakterystyczne)
Jeśli jest macierzą przekształcenia liniowego , to macierz nazywamy macierzą charakterystyczną , wielomian nazywamy wielomianem charakterystycznym , a równanie nazywamy równaniem charakterystycznym .
Twierdzenie
Wielomian charakterystyczny nie zależy od wyboru bazy.
Twierdzenie
Na to by liczba była wartością własną przekształcenia liniowego potrzeba i wystarcza by .
Twierdzenie
Zbiór wektorów własnych o wartości własnej uzupełniony o wektor zerowy jest niezmienniczą przestrzenią liniową , oznaczamy ją , , gdzie - macierz przekształcenia.
Twierdzenie
Jeśli wektory własne przekształcenia liniowego mają różne wartości własne, to są liniowo niezależne.
Twierdzenie
Jeśli ma n różnych wartości własnych oraz dla jest wektorem własnym o wartości własnej , to tworzą bazę . W bazie tej ma macierz diagonalną , której główną przekątną (diagonalę) tworzą liczby
(…)
….
Jeśli to mówimy, że jest symetryczna.
Definicja (forma kwadratowa)
Jeśli jest dwuliniową symetryczną formą, to funkcję nazywamy formą kwadratową formy dwuliniowej . Jeśli to mówimy, że jest postaci kanonicznej.
Każdą formę kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej. Ilość współczynników dodatnich w każdej postaci kanonicznej formy jest taka sama.
Definicja (forma dodatnio określona)
Formę nazywamy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)