Wektory i własności własne

Ponad to wyjaśnia pojęcie postaci diagonalnej.

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE
Definicja
Niech ƒ - przekształcenie liniowe przestrzeni wektorowej E w siebie. Jeżeli istnieje liczba λ i x ≠ 0, wektor x∈E, takie że:
f(x) = λx
to liczbę λ nazywamy wartością własną przekształcenia ƒ, a wektor x - wektorem własnym przekształcenia ƒ odpowiadającym wartości własnej λ.
Twierdzenie 1.
Kombinacja liniowa wektorów własnych x, y odp. wartości własnej λ i nie będąca wektorem zerowym jest też wektorem własnym odp. λ.
Twierdzenie 2.
Wektory własne odp. parami różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
Uwaga 1.
Wszystkie wektory własne odp. jednej wartości własnej λ rozpinają podprzestrzeń wektorów własnych nazywaną podprzestrzenią własną odp. λ.
Przykład 1.
Niech ƒ=α⋅idE i ƒ(x)=α⋅x to α jest jedyną wartością własną.
podprzestrzeń własna = E odp. α Przykład 2.
Obrót płaszczyzny o kąt β∈(0,π) wokół (0,0) nie ma wartości własnych
Obrót płaszczyzny o kąt β=π jest symetrią środkową α = -1 Definicja
Niech a1, a2, ..., an - wektory ortogonalne i unormowane z E (i w jest E ustalona baza).
(ai aj) = δij
to macierz
nazywamy macierzą ortogonalną. Wówczas UT⋅U=In ; i na odwrót, jeśli UT⋅U=In ⇒ kolumny = układ wektorów ortogonalny.
Dla macierzy ortogonalnej
U-1=UT
Przykład 3.
Macierz obrotu płaszczyzny względem (0,0) o kąt α jest ortogonalna
Twierdzenie 3.
Macierz ortogonalna przekształca wektory ortogonalne w wektory ortogonalne.
Twierdzenie 4.
Jeżeli macierz przekształca bazę ortogonalną i unormowaną, w bazę ortogonalną i unormowaną, to macierz jest ortogonalna.
Wniosek Macierz ortogonalna może mieć tylko dwie wartości własne 1 lub -1. Odpowiadające im wektory własne są ortogonalne.
Postać diagonalna.
Ax = λx     x ≠ 0
(A - λI)x = 0
Definicja
Ten układ równań ma rozwiązania nietrywialne WTW gdy:
det(A- λI) = 0
to równanie nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A.
Uwaga
Wartości własne przekształcenia nie powinny zależeć od bazy. W innej bazie macierz równa A ma postać:
P-1AP
, gdzie P jest nieosobliwą macierzą przejścia
det(P-1AP-λI) = det(A-λI)
Obliczając wyznacznik w równaniu charakterystycznym otrzymamy warunek:
bnλn+bn-1λn-1+...+bλ+b0=0
gdzie współczynniki bi wielomianu charakterystycznego wyrażają się przez elementy macierzy A.
Tzn. bn=(-1)n
bn-1=(-1)n-1trA=(-1)n-1(a11+a22+...+a

(…)

… to wektory własne odp. różnym wartościom własnym są ortogonalne.
Twierdzenie 8.
Jeżeli macierz A ma n ortogonalnych i unormowanych wektorów własnych w1, w2, ..., wn którym odp. wartości własne λ1, λ2, ..., λn (niekoniecznie różne) oraz gdy U jest macierzą ortogonalną utworzoną z kolumn odp. tym wektorom własnym, to macierz U-1AU jest macierzą diagonalną, a na jej głównej przekątnej znajdują się wartości własne A.
Wniosek Dla macierzy symetrycznej istnieje baza ortogonalna złożona z wektorów własnych tej macierzy. W tej bazie macierz ma postać diagonalną.
Przykład 4.
Niech a + b = trA ; ab - c2 = detA ; λ2-(trA)λ + detA = 0
Δ = (trA)2 - 4detA = (a-b)2 + 4c2 ≥ 0
wektory własne dla λ=λ1=1:
dla λ=λ2=6:
Biorąc Zadanie 1.
Znaleźć wartość własną, wektory własne macierzy:
Zadanie 2.
Wyznaczyć wartości własne…
... zobacz całą notatkę