Wstęp do algebry i teorii liczb Jacek Jaśniewski 13 listopada 2013 1 Relacje Mając dwa elementy a, b ∈ A możemy utworzyć parę uporządkowaną o poprzedniku a i następniku b (zapisujemy (a, b)) taką,że (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d (a, b) = (b, a) ⇔ a = b Definicja 1. Produktem Kartezjańskim ...
Wykład 2 Na ostatnim wykładzie udowodniliśmy następujące twierdzenie: Twierdzenie 1 Jeśli a, b ∈ Z i a = 0 lub b = 0. to istnieją liczby całkowite u, v, że au + bv = NWD(a, b). Można postawić ogólne pytanie dla jakich a, b, c ∈ Z równanie ax+by = c ma rozwiązanie całkowite? Powyższe twierdzeni...
Wykład 1 Arytmetyka liczb całkowitych Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2, . . .}. Zakładamy, że czytelnik zna relację 0) i mamy r − b = a − qb − b = a − (q + 1)b 1 To oznacza, że r − b ∈ S i r − b jest mniejsze od r, który jest minimalnym elementem w...
Wykład 3 Arytmetyka modulo n Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą (n 0) i niech a, b ∈ Z. Mówimy, że a przystaje do b modulo n jeśli n|(a−b) i piszemy wtedy a ≡ b mod n. Relacja przystawania modulo n jest
Wykład 7 Ciało liczb zespolonych cd. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej Każda liczba zespolona z = a + bi jest opisana przez parę liczb rzeczywistych. Zatem można ją interpretować jako punkt (lub wektor) na płaszczyźnie o ws...
Wykład 6 Ciało liczb zespolonych Rozważmy równanie x2 +1 = 0. Oczywiście równanie to nie ma rozwiązań w ciele liczb rzeczywistych. Pytanie, które nasuwa się w tym miejscu brzmi: Czy można tak rozszerzyć ciało liczb rzeczywistych, żeby otrzymać nowe ciało, w którym to równanie ma rozwiązanie (je...
Wykład 2 Działania Z wcześniejszych kursów znamy pojęcie działań arytmetycznych w zbiorze liczb rzeczywistych (+, −, ·, :). Niech A będzie dowolnym zbiorem. Każdą funkcję f : An → A nazywamy (n-arnym) działaniem w zbiorze A. Jeś...
EUKLIDESOWA PRZESTRZEŃ AFINICZNA (WEKTOROWA) RZECZYWISTA Definicja 1 ( n , , +, ⋅ ) u = ( x1 , x2 ,..., xn ) ( u / v ) := x y + x y 1 1 2 2 v = ( y1 , y2 ,..., yn ) + ... + xn yn - nazywamy iloczynem skalarnym Możemy go również oznaczać w następujący sposób: ( u / v ) := u v Definic...
Wykład 9 Zadanie Zbadać, czy forma: 1 2 3 x1 2 5 2 x2 g(x1 , x2 , x3 ) = [x1 , x2 , x3 ] 3 2 0 x3 jest dodatnio określona. Rozwiązanie Wystarczy zbadać, czy dodatnie są minory główne, a więc wyznaczniki: G1 = 1 1 2 G2 = =10 2 5 1 2 3 G3 = 2 5 2 = −25 (...
Wykład 16 Geometria analityczna cd. Podział linii stopnia drugiego Każdą linię przedstawioną równaniem: ax2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 (1) gdzie a, b, c, d, e, f ∈ R nazywamy linią stopnia drugiego. Każde równanie stopn...
