działania - wykład 2

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 420
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
działania -  wykład 2 - strona 1 działania -  wykład 2 - strona 2

Fragment notatki:

Wykład 2
Działania
Z wcześniejszych kursów znamy pojęcie działań arytmetycznych w zbiorze
liczb rzeczywistych (+, −, ·, :).
Niech A będzie dowolnym zbiorem. Każdą funkcję f : An → A nazywamy (n-arnym) działaniem w zbiorze A. Jeśli n = 2 to działanie nazywamy
binarnym. Dla działań binarnych często używamy oznaczeń +, ·, ⊕, , , i
podobnych, tradycyjnie nie używamy zapisu +(a, b) tylko a + b.
Przykład
+ jest działaniem binarnym w zbiorach N, Z, Q, R.
: nie jest działaniem binarnym w zbiorze R bo wyrażenie a : 0 jest nieokreślone.
: nie jest również działaniem w zbiorze Z \ {0} bo wartość dzielenia 1 : 2 nie
jest liczbą całkowitą.
Przykład Jeśli X jest dowolnym zbiorem to składanie funkcji jest działaniem
binarnym w zbiorze X X .
Jeśli A jest zbiorem skończonym, A = {a1 , a2 , . . . , an }, a jest działaniem
binarnym w tym zbiorze to działanie to można opisać przy pomocy tabelki:
a1
a2
...
an
a1
a1 a1
a2 a1
...
an a1
a2
a1 a2
a2 a2
...
an a2
...
...
...
...
...
an
a1 an
a2 an
...
an an
Zadanie Opisać tabelkę składania funkcji w zbiorze X X dla X = {1, 2}.
Rozwiązanie Jak wiemy X X = {f1 , f2 , f3 , f4 }, gdzie:
f1 =
1 2
1 2
, f2 =
1 2
2 1
, f3 =
1 2
1 1
, f4 =
1 2
2 2
Wtedy na przykład:

f2 ◦ f2 =
1 2
2 1

1 2
2 1

f2 ◦ f3 =
1 2
2 1

1 2
1 1

1 2
= 2 1 =


1 2
1
= f1 ,
1 2
2 2
= f4 .

1 2
= 1 1 =


2 2
Tabelka ma postać:
1 2
1 2
.

f1
f2
f3
f4
f1
f1
f2
f3
f4
f2
f2
f1
f3
f4
f3
f3
f4
f3
f4
f4
f4
f3
f3
f4
Własności działań binarnych. Działanie
(a) łącznym jeśli:
w zbiorze A nazywamy:
∀a, b, c ∈ A a (b c) = (a b) c,
(b) przemiennym jeśli:
∀a, b ∈ A a b = b a.
Element e ∈ A nazywamy prawostronnym elementem neutralnym jeśli:
∀a ∈ A a e = a.
Podobnie można mówić o lewostronnym elemencie neutralnym. Element e ∈
A nazywamy elementem neutralnym działania jeśli jest prawo i lewostronnym elementem neutralnym.
Twierdzenie 1 Każde działanie ma co najwyżej jeden element neutralny.
Dowód Jeśli e1 i e2 są elementami neutralnymi to e1 e2 = e1 i e1 e2 = e2 ,
więc e1 = e2 .
Niech działanie posiada element neutralny e w zbiorze A i niech a ∈ A.
Wtedy element a ∈ A nazywamy elementem odwrotnym do a (względem
działania ) jeśli:
a a = a a = e.
Jeśli a posiada element odwrotny to nazywamy go elementem odracalnym.
Zadanie Wyznaczyć element neutralny składania w zbiorze X X . Wyznaczyć
wszystkie elementy odwracalne w zbiorze X X dla X = {1, 2}.
Elementy odwracalne w zbiorze X X nazywamy permutacjami zbioru X
i oznaczamy je przez S(X). Element jest f ∈ X X odwracalny dokładnie
wtedy gdy f jest funkcją odwracalną (tzn jest wzajemnie jednoznacznym
odwzorowaniem zbioru X na X). Jeśli X = {1, 2, . . . , n} to zamiast S(X)
piszemy Sn .
Zadanie Wyznaczyć wszystkie permutacje zbioru X = {1, 2, 3}. Wyznaczyć
tabelkę składania funkcji w zbiorze S3 .
Niech ⊕ i będą dwoma działaniami w zbiorze A. Wtedy mówimy, że działanie jest rozdzielne względem ⊕ jeśli:
∀a, b, c ∈ A a
(b ⊕ c) = (a
b) ⊕ (a
c), (a ⊕ b)
c = (a
X
Zadanie Jakie ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz