Struktury algebraiczne - algebra

Nasza ocena:

3
Pobrań: 28
Wyświetleń: 658
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Struktury algebraiczne - algebra - strona 1 Struktury algebraiczne - algebra - strona 2 Struktury algebraiczne - algebra - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 3 Struktury algebraiczne III. Struktury algebraiczne Strukturą algebraiczną nazywamy zbiór wraz z pewnymi działaniami w tym zbiorze. Strukturę algebraiczną zapisujemy wymieniając zbiór oraz dzia- łania np. (N ,  + , · ) jest strukturą algebraiczną złożoną z N i dwóch działań dodawania i mnożenia. Działań w strukturze algebraicznej może być skoń- czenie lub nieskończenie wiele. W dalszym ciągu działanie  ◦  będzie działaniem binarnym. Dowolną strukturę ( G, ◦ ) nazywamy  grupoidem . Grupoid ( G, ◦ ) nazywamy  półgrupą  jeśli działanie  ◦  jest łączne. Półgrupę ( G, ◦ ) nazywamy  grupą  jeśli  ◦  ma element neutralny i każdy element jest odwracalny. Inaczej mówiąc ( G, ◦ ) jest grupą jeśli: (1)  ∀a, b, c ∈ G a ◦  ( b ◦ c ) = ( a ◦ b )  ◦ c , (2) Istnieje  e ∈ G , że  ∀a ∈ A e ◦ a  =  a ◦ e  =  a , (3)  ∀a ∈ G ∃a ∈ G aa  =  a a  =  e . jeśli dodatkowo (4)  ∀a, b ∈ G a ◦ b  =  b ◦ a to grupę nazywamy  przemienną  lub  abelową . Przykłady (N ,  +) jest półgrupą i nie jest grupą, (Z ,  +) jest grupą abelową, (R  \ { 0 }, · ) jest grupą abelową, ( Sn, ◦ ) jest grupą i jeśli  n   2 to jest to grupa nieabelowa. Zbiór  A  =  {e, a, b, c}  z działaniem  ◦  określonym w tabelce: ◦ e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e jest grupą abelową. Każdy element jest odwrotny sam do siebie. Twierdzenie 1  Każdy element grupy posiada dokładnie jeden element od- wrotny. Dowód  Z definicji grupy wynika, że każdy element posiada element odwrot- ny. Przypuśćmy, że pewien element  a  posiada dwa elementy odwrotne  a  i  a  . 1 Wtedy, jeśli  e  oznacza element neutralny, mamy: a ◦ a  =  a ◦ a  =  e a ◦ a  =  a ◦ a  =  e Korzystając z powyższych równości i z łączności działania, otrzymujemy: a  =  a ◦ e  =  a ◦  ( a ◦ a  ) (1) =( a ◦ a )  ◦ a  =  e ◦ a  =  a . Co oznacza, że element odwrotny jest dokładnie jeden. Element odwrotny do  a  oznaczamy przez  a− 1. Twierdzenie 2  Jeśli  ( G, ◦ )  jest grupą to: (i)  ∀a ∈ G  ( a− 1) − 1 =  a, (ii)  ∀a, b ∈ G  ( a ◦ b ) − 1 =  b− 1  ◦ a− 1 . Dowód (i) Ponieważ  a ◦ a− 1 =  a− 1  ◦ a  =  e  to element  a  jest odwrotny do  a− 1 i ponieważ element odwrotny jest wyznaczony jednoznacznie to ( a− 1) − 1 =  a . (ii) Wystarczy sprawdzić, że element  b− 1  ◦ a− 1 jest odwrotny do  a ◦ b . Zadanie  Wyznaczyć elementy odwrotne do elementów grupy (

(…)

… go w
postaci −a, a element neutralny oznaczamy przez 0.
System algebraiczny (R, ⊕, ) nazywamy pierścieniem jeśli , ⊕ są
działaniami binarnymi oraz:
(1) (R, ⊕) jest grupą abelową,
(2) (R, ) jest półgrupą,
(3) działanie jest rozdzielne względem ⊕.
Dodatkowo jeśli:
(4) działanie jest przemienne to pierścień nazywamy pierścieniem przemiennym, a jeśli mnożenie posiada element neutralny to pierścień nazywamy pierścieniem z jedynką (element neutralny działania
będziemy
zwykle nazywać jedynką pierścienia i oznaczać go będziemy zwykle przez 1).
Przykładami pierścieni przemiennych z jedynką są (Z, +, ·), (R, +, ·). Później poznamy również przykłady pierścieni nieprzemiennych.
Ponieważ struktura (R, ⊕) jest grupą abelową to istnieje element neutralny działania ⊕ i każdy element jest odwracalny względem tego działania…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz