Wykład 3 Struktury algebraiczne III. Struktury algebraiczne Strukturą algebraiczną nazywamy zbiór wraz z pewnymi działaniami w tym zbiorze. Strukturę algebraiczną zapisujemy wymieniając zbiór oraz dzia- łania np. (N , + , · ) jest strukturą algebraiczną złożoną z N i dwóch działań dodawania i mnożenia. Działań w strukturze algebraicznej może być skoń- czenie lub nieskończenie wiele. W dalszym ciągu działanie ◦ będzie działaniem binarnym. Dowolną strukturę ( G, ◦ ) nazywamy grupoidem . Grupoid ( G, ◦ ) nazywamy półgrupą jeśli działanie ◦ jest łączne. Półgrupę ( G, ◦ ) nazywamy grupą jeśli ◦ ma element neutralny i każdy element jest odwracalny. Inaczej mówiąc ( G, ◦ ) jest grupą jeśli: (1) ∀a, b, c ∈ G a ◦ ( b ◦ c ) = ( a ◦ b ) ◦ c , (2) Istnieje e ∈ G , że ∀a ∈ A e ◦ a = a ◦ e = a , (3) ∀a ∈ G ∃a ∈ G aa = a a = e . jeśli dodatkowo (4) ∀a, b ∈ G a ◦ b = b ◦ a to grupę nazywamy przemienną lub abelową . Przykłady (N , +) jest półgrupą i nie jest grupą, (Z , +) jest grupą abelową, (R \ { 0 }, · ) jest grupą abelową, ( Sn, ◦ ) jest grupą i jeśli n 2 to jest to grupa nieabelowa. Zbiór A = {e, a, b, c} z działaniem ◦ określonym w tabelce: ◦ e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e jest grupą abelową. Każdy element jest odwrotny sam do siebie. Twierdzenie 1 Każdy element grupy posiada dokładnie jeden element od- wrotny. Dowód Z definicji grupy wynika, że każdy element posiada element odwrot- ny. Przypuśćmy, że pewien element a posiada dwa elementy odwrotne a i a . 1 Wtedy, jeśli e oznacza element neutralny, mamy: a ◦ a = a ◦ a = e a ◦ a = a ◦ a = e Korzystając z powyższych równości i z łączności działania, otrzymujemy: a = a ◦ e = a ◦ ( a ◦ a ) (1) =( a ◦ a ) ◦ a = e ◦ a = a . Co oznacza, że element odwrotny jest dokładnie jeden. Element odwrotny do a oznaczamy przez a− 1. Twierdzenie 2 Jeśli ( G, ◦ ) jest grupą to: (i) ∀a ∈ G ( a− 1) − 1 = a, (ii) ∀a, b ∈ G ( a ◦ b ) − 1 = b− 1 ◦ a− 1 . Dowód (i) Ponieważ a ◦ a− 1 = a− 1 ◦ a = e to element a jest odwrotny do a− 1 i ponieważ element odwrotny jest wyznaczony jednoznacznie to ( a− 1) − 1 = a . (ii) Wystarczy sprawdzić, że element b− 1 ◦ a− 1 jest odwrotny do a ◦ b . Zadanie Wyznaczyć elementy odwrotne do elementów grupy (
(…)
… go w
postaci −a, a element neutralny oznaczamy przez 0.
System algebraiczny (R, ⊕, ) nazywamy pierścieniem jeśli , ⊕ są
działaniami binarnymi oraz:
(1) (R, ⊕) jest grupą abelową,
(2) (R, ) jest półgrupą,
(3) działanie jest rozdzielne względem ⊕.
Dodatkowo jeśli:
(4) działanie jest przemienne to pierścień nazywamy pierścieniem przemiennym, a jeśli mnożenie posiada element neutralny to pierścień nazywamy pierścieniem z jedynką (element neutralny działania
będziemy
zwykle nazywać jedynką pierścienia i oznaczać go będziemy zwykle przez 1).
Przykładami pierścieni przemiennych z jedynką są (Z, +, ·), (R, +, ·). Później poznamy również przykłady pierścieni nieprzemiennych.
Ponieważ struktura (R, ⊕) jest grupą abelową to istnieje element neutralny działania ⊕ i każdy element jest odwracalny względem tego działania…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)