struktury algebraiczne - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 378
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
struktury algebraiczne - omówienie - strona 1 struktury algebraiczne - omówienie - strona 2 struktury algebraiczne - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

Wykład 3
Struktury algebraiczne
III. Struktury algebraiczne
Strukturą algebraiczną nazywamy zbiór wraz z pewnymi działaniami w
tym zbiorze. Strukturę algebraiczną zapisujemy wymieniając zbiór oraz działania np. (N, +, ·) jest strukturą algebraiczną złożoną z N i dwóch działań
dodawania i mnożenia. Działań w strukturze algebraicznej może być skończenie lub nieskończenie wiele.
W dalszym ciągu działanie ◦ będzie działaniem binarnym.
Dowolną strukturę (G, ◦) nazywamy grupoidem.
Grupoid (G, ◦) nazywamy półgrupą jeśli działanie ◦ jest łączne.
Półgrupę (G, ◦) nazywamy grupą jeśli ◦ ma element neutralny i każdy
element jest odwracalny.
Inaczej mówiąc (G, ◦) jest grupą jeśli:
(1) ∀a, b, c ∈ G a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c,
(2) Istnieje e ∈ G, że ∀a ∈ A e ◦ a = a ◦ e = a,
(3) ∀a ∈ G ∃a ∈ G aa = a a = e.
jeśli dodatkowo
(4) ∀a, b ∈ G a ◦ b = b ◦ a
to grupę nazywamy przemienną lub abelową.
Przykłady
(N, +) jest półgrupą i nie jest grupą,
(Z, +) jest grupą abelową,
(R \ {0}, ·) jest grupą abelową,
(Sn , ◦) jest grupą i jeśli n 2 to jest to grupa nieabelowa.
Zbiór A = {e, a, b, c} z działaniem ◦ określonym w tabelce:

e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b c
b c
c b
e a
a e
jest grupą abelową. Każdy element jest odwrotny sam do siebie.
Twierdzenie 1 Każdy element grupy posiada dokładnie jeden element odwrotny.
Dowód Z definicji grupy wynika, że każdy element posiada element odwrotny. Przypuśćmy, że pewien element a posiada dwa elementy odwrotne a i a .
1
Wtedy, jeśli e oznacza element neutralny, mamy:
a◦a =a ◦a=e
a◦a =a ◦a=e
Korzystając z powyższych równości i z łączności działania, otrzymujemy:
(1)
a = a ◦ e = a ◦ (a ◦ a ) =(a ◦ a) ◦ a = e ◦ a = a .
Co oznacza, że element odwrotny jest dokładnie jeden.
Element odwrotny do a oznaczamy przez a−1 .
Twierdzenie 2 Jeśli (G, ◦) jest grupą to:
(i) ∀a ∈ G (a−1 )−1 = a,
(ii) ∀a, b ∈ G (a ◦ b)−1 = b−1 ◦ a−1 .
Dowód
(i) Ponieważ a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = e to element a jest odwrotny do a−1 i
ponieważ element odwrotny jest wyznaczony jednoznacznie to (a−1 )−1 = a.
(ii) Wystarczy sprawdzić, że element b−1 ◦ a−1 jest odwrotny do a ◦ b.
Zadanie Wyznaczyć elementy odwrotne do elementów grupy (S3 , ◦).
Twierdzenie 3 Jeśli (G, ◦) jest grupą to:
(i) a ◦ x = b ◦ x ⇒ a = b,
(ii) x ◦ a = x ◦ b ⇒ a = b.
Dowód
(i) Jeśli a ◦ x = b ◦ x to mnożąc to równanie obustronnie z prawej strony
przez x−1 otrzymujemy:
(a ◦ x) ◦ x−1 = (b ◦ x) ◦ x−1
a ◦ (x ◦ x−1 ) = b ◦ (x ◦ x−1 )
a◦e=b◦e
a=b
(ii) Analogicznie jak poprzedni punkt.
Twierdzenie 4 Jeśli (G, ◦) jest grupą i a, b ∈ G to równanie a ◦ x = b ma
dokładnie jedno rozwiązanie w zbiorze G.
2
Dowód Nietrudno jest zauważyć, że element a−1 ◦ b jest rozwiązaniem równania i że jest to jedyne rozwiązanie tego równania.
Jeśli grupa jest abelowa to działanie binarne często zapisujemy przy pomocy
znaku +, element odwrotny do a nazywamy przeciwnym i zapisujemy go w
postaci −a, a element neutralny oznaczamy przez 0.
System algebraiczny (R, ⊕, ) nazywamy pierścieniem jeśli , ⊕ są
działaniami binarnymi oraz:
(1)

(…)

… go w
postaci −a, a element neutralny oznaczamy przez 0.
System algebraiczny (R, ⊕, ) nazywamy pierścieniem jeśli , ⊕ są
działaniami binarnymi oraz:
(1) (R, ⊕) jest grupą abelową,
(2) (R, ) jest półgrupą,
(3) działanie jest rozdzielne względem ⊕.
Dodatkowo jeśli:
(4) działanie jest przemienne to pierścień nazywamy pierścieniem przemiennym, a jeśli mnożenie posiada element neutralny to pierścień nazywamy pierścieniem z jedynką (element neutralny działania
będziemy
zwykle nazywać jedynką pierścienia i oznaczać go będziemy zwykle przez 1).
Przykładami pierścieni przemiennych z jedynką są (Z, +, ·), (R, +, ·). Później poznamy również przykłady pierścieni nieprzemiennych.
Ponieważ struktura (R, ⊕) jest grupą abelową to istnieje element neutralny działania ⊕ i każdy element jest odwracalny względem tego działania…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz