To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 2 Działania Z wcześniejszych kursów znamy pojęcie działań arytmetycznych w zbiorze liczb rzeczywistych (+ , −, ·, :). Niech A będzie dowolnym zbiorem. Każdą funkcję f : An → A nazywa- my ( n -arnym) działaniem w zbiorze A . Jeśli n = 2 to działanie nazywamy binarnym. Dla działań binarnych często używamy oznaczeń + , ·, ⊕, , , i podobnych, tradycyjnie nie używamy zapisu +( a, b ) tylko a + b . Przykład + jest działaniem binarnym w zbiorach N , Z , Q , R. : nie jest działaniem binarnym w zbiorze R bo wyrażenie a : 0 jest nieokre- ślone. : nie jest również działaniem w zbiorze Z \ { 0 } bo wartość dzielenia 1 : 2 nie jest liczbą całkowitą. Przykład Jeśli X jest dowolnym zbiorem to składanie funkcji jest działaniem binarnym w zbiorze XX . Jeśli A jest zbiorem skończonym, A = {a 1 , a 2 , . . . , an} , a jest działaniem binarnym w tym zbiorze to działanie to można opisać przy pomocy tabelki: a 1 a 2 . . . an a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 . . . a 1 an a 2 a 2 a 1 a 2 a 2 . . . a 2 an . . . . . . . . . . . . . . . an an a 1 an a 2 . . . an an Zadanie Opisać tabelkę składania funkcji w zbiorze XX dla X = { 1 , 2 } . Rozwiązanie Jak wiemy XX = {f 1 , f 2 , f 3 , f 4 } , gdzie: f 1 = 1 2 1 2 , f 2 = 1 2 2 1 , f 3 = 1 2 1 1 , f 4 = 1 2 2 2 . Wtedy na przykład: f 2 ◦ f 2 = 1 2 2 1 ◦ 1 2 2 1 = 1 2 2 1 1 2 = 1 2 1 2 = f 1 , f 2 ◦ f 3 = 1 2 2 1 ◦ 1 2 1 1 = 1 2 1 1 2 2 = 1 2 2 2 = f 4 . Tabelka ma postać: 1 ◦ f 1 f 2 f 3 f 4 f 1 f 1 f 2 f 3 f 4 f 2 f 2 f 1 f 4 f 3 f 3 f 3 f 3 f 3 f 3 f 4 f 4 f 4 f 4 f 4 Własności działań binarnych. Działanie w zbiorze A nazywamy: (a) łącznym jeśli: ∀a, b, c ∈ A a ( b c ) = ( a b ) c, (b) przemiennym jeśli: ∀a, b ∈ A a b = b a. Element e ∈ A nazywamy prawostronnym elementem neutralnym jeśli: ∀a ∈ A a e = a. Podobnie można mówić o lewostronnym elemencie neutralnym. Element e ∈ A nazywamy elementem neutralnym działania jeśli jest prawo i lewostron- nym elementem neutralnym. Twierdzenie 1 Każde działanie ma co najwyżej jeden element neutralny. Dowód Jeśli e 1 i e 2 są elementami neutralnymi to e 1 e 2 = e 1 i e 1 e 2 = e 2, więc e 1 = e 2. Niech działanie posiada element neutralny e w zbiorze A i niech a ∈ A . Wtedy element a ∈ A
(…)
… element neutralny e w zbiorze A i niech a ∈ A.
Wtedy element a ∈ A nazywamy elementem odwrotnym do a (względem
działania ) jeśli:
a a = a a = e.
Jeśli a posiada element odwrotny to nazywamy go elementem odracalnym.
Zadanie Wyznaczyć element neutralny składania w zbiorze X X . Wyznaczyć
wszystkie elementy odwracalne w zbiorze X X dla X = {1, 2}.
Elementy odwracalne w zbiorze X X nazywamy permutacjami zbioru X
i oznaczamy je przez S(X). Element jest f ∈ X X odwracalny dokładnie
wtedy gdy f jest funkcją odwracalną (tzn jest wzajemnie jednoznacznym
odwzorowaniem zbioru X na X). Jeśli X = {1, 2, . . . , n} to zamiast S(X)
piszemy Sn .
Zadanie Wyznaczyć wszystkie permutacje zbioru X = {1, 2, 3}. Wyznaczyć
tabelkę składania funkcji w zbiorze S3 .
Niech ⊕ i będą dwoma działaniami w zbiorze A. Wtedy mówimy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)