Algebra - działania

Nasza ocena:

3
Pobrań: 21
Wyświetleń: 910
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Algebra - działania - strona 1 Algebra - działania - strona 2

Fragment notatki:


Wykład 2 Działania Z wcześniejszych kursów znamy pojęcie działań arytmetycznych w zbiorze liczb rzeczywistych (+ , −, ·,  :). Niech  A  będzie dowolnym zbiorem. Każdą funkcję  f  :  An → A  nazywa- my ( n -arnym) działaniem w zbiorze  A . Jeśli  n  = 2 to działanie nazywamy binarnym. Dla działań binarnych często używamy oznaczeń + , ·, ⊕, , , i podobnych, tradycyjnie nie używamy zapisu +( a, b ) tylko  a  +  b . Przykład + jest działaniem binarnym w zbiorach N ,  Z ,  Q ,  R. : nie jest działaniem binarnym w zbiorze R bo wyrażenie  a  : 0 jest nieokre- ślone. : nie jest również działaniem w zbiorze Z  \ { 0 }  bo wartość dzielenia 1 : 2 nie jest liczbą całkowitą. Przykład  Jeśli  X  jest dowolnym zbiorem to składanie funkcji jest działaniem binarnym w zbiorze  XX  . Jeśli  A  jest zbiorem skończonym,  A  =  {a 1 , a 2 , . . . , an} , a jest działaniem binarnym w tym zbiorze to działanie to można opisać przy pomocy tabelki: a 1 a 2 . . . an a 1 a 1  a 1 a 1  a 2 . . . a 1  an a 2 a 2  a 1 a 2  a 2 . . . a 2  an . . . . . . . . . . . . . . . an an a 1 an a 2 . . . an an Zadanie  Opisać tabelkę składania funkcji w zbiorze  XX  dla  X  =  { 1 ,  2 } . Rozwiązanie  Jak wiemy  XX  =  {f 1 , f 2 , f 3 , f 4 } , gdzie: f 1 = 1 2 1 2 , f 2 = 1 2 2 1 , f 3 = 1 2 1 1 , f 4 = 1 2 2 2 . Wtedy na przykład: f 2  ◦ f 2 = 1 2 2 1 ◦ 1 2 2 1 =    1 2 2 1 1 2    = 1 2 1 2 =  f 1 , f 2  ◦ f 3 = 1 2 2 1 ◦ 1 2 1 1 =    1 2 1 1 2 2    = 1 2 2 2 =  f 4 . Tabelka ma postać: 1 ◦ f 1 f 2 f 3 f 4 f 1 f 1 f 2 f 3 f 4 f 2 f 2 f 1 f 4 f 3 f 3 f 3 f 3 f 3 f 3 f 4 f 4 f 4 f 4 f 4 Własności działań binarnych.  Działanie w zbiorze  A  nazywamy: (a) łącznym jeśli: ∀a, b, c ∈ A a  ( b c ) = ( a b )  c, (b) przemiennym jeśli: ∀a, b ∈ A a b  =  b a. Element  e ∈ A  nazywamy prawostronnym elementem neutralnym jeśli: ∀a ∈ A a e  =  a. Podobnie można mówić o lewostronnym elemencie neutralnym. Element  e ∈ A  nazywamy elementem neutralnym działania jeśli jest prawo i lewostron- nym elementem neutralnym. Twierdzenie 1  Każde działanie ma co najwyżej jeden element neutralny. Dowód  Jeśli  e 1 i  e 2 są elementami neutralnymi to  e 1  e 2 =  e 1 i  e 1  e 2 =  e 2, więc  e 1 =  e 2. Niech działanie posiada element neutralny  e  w zbiorze  A  i niech  a ∈ A . Wtedy element  a ∈ A 

(…)

… element neutralny e w zbiorze A i niech a ∈ A.
Wtedy element a ∈ A nazywamy elementem odwrotnym do a (względem
działania ) jeśli:
a a = a a = e.
Jeśli a posiada element odwrotny to nazywamy go elementem odracalnym.
Zadanie Wyznaczyć element neutralny składania w zbiorze X X . Wyznaczyć
wszystkie elementy odwracalne w zbiorze X X dla X = {1, 2}.
Elementy odwracalne w zbiorze X X nazywamy permutacjami zbioru X
i oznaczamy je przez S(X). Element jest f ∈ X X odwracalny dokładnie
wtedy gdy f jest funkcją odwracalną (tzn jest wzajemnie jednoznacznym
odwzorowaniem zbioru X na X). Jeśli X = {1, 2, . . . , n} to zamiast S(X)
piszemy Sn .
Zadanie Wyznaczyć wszystkie permutacje zbioru X = {1, 2, 3}. Wyznaczyć
tabelkę składania funkcji w zbiorze S3 .
Niech ⊕ i będą dwoma działaniami w zbiorze A. Wtedy mówimy…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz