To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 9
Zadanie Zbadać, czy forma:
1 2 3
x1
2 5 2 x2
g(x1 , x2 , x3 ) = [x1 , x2 , x3 ]
3 2 0
x3
jest dodatnio określona.
Rozwiązanie Wystarczy zbadać, czy dodatnie są minory główne, a więc
wyznaczniki:
G1 = 1
1 2
G2 =
=10
2 5
1 2 3
G3 = 2 5 2 = −25
(…)
… Wykład 9
Zadanie Zbadać, czy forma:
1 2 3
x1
2 5 2 x2
g(x1 , x2 , x3 ) = [x1 , x2 , x3 ]
3 2 0
x3
jest dodatnio określona.
Rozwiązanie Wystarczy zbadać, czy dodatnie są minory główne, a więc
wyznaczniki:
G1 = 1
1 2
G2 =
=1>0
2 5
1 2 3
G3 = 2 5 2 = −25 < 0
3 2 0
To oznacza, że ta forma nie jest dodatnio określona. Rzeczywiście g(1, 1, −2) =
−10 < 0.
Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej
Niech g będzie formą kwadratową w przestrzeni Rn , wtedy g może być
zapisane w postaci:
n
n
gii x2 + 2
i
g(x1 , x2 , . . . , xn ) =
i=1
gij xi xj
i=1,j=1,i<j
w przedstawieniu tym mogą występować elementy po xi xj . Zadanie sprowadzania do postaci kanonicznej polega więc na ”pozbywaniu się” tych elementów. Dokładniej mówiąc zadanie to polega na szukaniu zmiennych y1 , y2 , . . . , yn
zależnych liniowo od x1 , x2 , . . . , xn , dla których forma kwadratowa g ma
przedstawienie:
2
2
g(y1 , . . . , yn ) = a1 y1 + a2 y 2 + . . . + an yn
Istnieje kilka metod sprowadzania do postaci kanonicznej. Tutaj omówimy
dwie podstawowe: metodę Lagrange’a i metodę Jacobiego.
1
Metoda Lagrange’a
Metoda Lagrange’a wykorzystuje uogólnienie wzoru skróconego mnożenia na
kwadrat sumy elementów…
… metoda Jacobiego działa wtedy
gdy każdy z minorów głównych macierzy G jest różny od 0.
Na zakończenie naszych rozważań dotyczących przestrzeni euklidesowych
i unitarnych zdefiniujemy pojęcie sprzężenia odwzorowania liniowego. Niech
V będzie przestrzenią euklidesową (unitarną) i niech ϕ : V → V będzie
homomorfizmem przestrzeni V , wtedy istnieje dokładnie jeden homomorfizm
ϕ∗ , taki że dla każdego u, v ∈ V :
(ϕ(u)|v) = (u|ϕ∗ (v))
Operator ϕ∗ nazywamy operatorem sprzężonym z operatorem ϕ.
Jeśli V = Cn jest przestrzenią unitarną ze standardowym iloczynem skalarnym i A jest macierzą operatora ϕ to A∗ jest macierzą operatora ϕ∗ .
4
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)