To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 7
Ciało liczb zespolonych cd.
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
Każda liczba zespolona z = a + bi jest opisana przez parę liczb rzeczywistych. Zatem można ją interpretować jako punkt (lub wektor) na płaszczyźnie
o współrzędnych (a, b):
Imz T
` z = a + bi
b`
`
a
E Rez
Odległość liczby z od początku układu współrzędnych nazywamy modułem liczby z i oznaczamy go przez |z|.
√
Jeśli z = a + bi to |z| = a2 + b2 .
Zadanie Rozwiązać równanie |z| + z = 0.
Rozwiązanie Ponieważ |z| interpretujemy jako odległość, więc |z| ∈ R. Więc
√
jeśli z = −|z| to Im(z) = 0 zatem z = a ∈ R. Stąd mamy a+ a2 = 0. Zatem
rozwiązaniem równania są wszystkie liczby rzeczywiste mniejsze od zera.
Własności modułów liczb zespolonych
1. |z · w| = |z| · |w|,
|z|
z
2. Jeśli w = 0 to | w | = |w|
3. |z + w| |z| + |w|
Dowód Niech t = |z+w| , wtedy |t| = 1 i t(z + w) = |z + w| ∈ R. Stąd mamy:
z+w
|z + w| = t(z + w) = tz + tw = Re(tz + tw) =
= Re(tz) + Re(tw) |tz| + |tw| = |z| + |w|,
4. z · z = |z|2 .
¯
Zadanie Podać interpretację geometryczną zbioru {z ∈ C : |z| = 1} oraz
zbioru {z ∈ C : |z − i| = 1}.
Rozwiązanie
{z ∈ C : |z| = 1}:
1
Imz T
`
1
E Rez
{z ∈ C : |z − i| = 1}:
Imz T
i`
E Rez
Kąt α między dodatnią stroną osi Re, a promieniem wodzącym liczby z
nazywamy argumentem tej liczby i oznaczamy przez arg(z).
Imz T
` z = a + bi
'$
Argz
E Rez
&%
Argumentem liczby zespolonej jest zbiór liczb rzeczywistych bo np. argumentem liczby 1 + i jest zbiór { π + 2kπ : k ∈ Z}.
4
Argumentem głównym liczby z nazywamy ten z argumentów który
zawarty jest w przedziale [0, 2π). Argument główny liczby z oznaczamy przez
Arg(z), np. Arg(1 + i) = π .
4
Zadanie Narysować na płaszczyźnie zbiór {z ∈ C : Arg(z) = 2π }.
3
Rozwiązanie
2
Imz T
e
e
e
e
e
e
E Rez
Jeśli α jest argumentem liczby z = a + bi to mamy:
cos α =
a
b
, sin α =
|z|
|z|
Jeśli z = a + bi = 0 to mamy:
z = |z|
a
b
+i
|z|
|z|
= |z|(cos α + i sin α)
postać tą nazywamy postacią trygonometryczną√
liczby z.
√
Przykład Niech z = 1 − i, wtedy |z| = 12 + 12 = 2,
√
√
2
2
−1
1
, sin α = √ = −
cos α = √ =
2
2
2
2
stąd Arg(z) = 2π− π = 7 π, a więc postacią trygonometryczną liczby z = 1−i
4
4
jest:
√
7
7
z = 1 − i = 2 cos π + i sin π .
4
4
Niech z = |z|(cos α + i sin α), w = |w|(cos β + i sin β) wtedy mamy:
1. zw = |z||w|(cos(α + β) + i sin(α + β)),
2. ∀n ∈ N z n = |z|(cos(nα) + i sin(nα)) (wzór Moivre’a 1 ),
|z|
z
3. w = |w| (cos(α − β) + i sin(α − β)).
Dowód
z · w = |z|(cos α + i sin α)|w|(cos β + i sin β) =
|z||w|((cos α cos β − sin α sin β) + i(cos α sin β + cos β sin α)) =
|z||w|(cos(α + β) + i sin(α + β)),
to daje dowód punktu 1.
Punkt 2. jest indukcyjnym uogólnieniem punktu 1., a punkt 3. udowadnia
się podobnie jak punkt 1.
√
Zadanie Wyznaczyć liczbę (−1 + i 3)125 .
1
Abraham de Moivre 1667-1754, matematyk angielski
3
√
Rozwiązanie√Szukamy √
postaci trygonometrycznej liczby z = −1 + i 3.
√
Mamy |z| = 1 + 3 = 4 = 2, cos α = −1 , sin α = 23 , stąd Arg(z) =
2
π − π = 2 π. Zatem:
3
3
(…)
… pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z, jeśli
wn = z.
Twierdzenie 1 Dla dowolnej liczby zespolonej z = 0 istnieje dokładnie n
różnych pierwiastków stopnia n z z. Jeśli z = |z| (cos α + i sin α) to pierwiastki n-tego stopnia z z wyrażają się wzorami:
ζk =
n
|z| cos
gdzie k = 0, 1, . . . , n − 1, a
rzeczywistej dodatniej |z|.
n
α + 2kπ
α + 2kπ
+ i sin
,
n
n
|z| oznacza pierwiastek arytmetyczny…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)