Liczby zespolone - Własności sprężenia

Nasza ocena:

3
Pobrań: 42
Wyświetleń: 721
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Liczby zespolone - Własności sprężenia - strona 1 Liczby zespolone - Własności sprężenia - strona 2 Liczby zespolone - Własności sprężenia - strona 3

Fragment notatki:

LICZBY ZESPOLONE • Definicja liczby zespolonej: Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę z=(x,y) liczb rzeczywistych, tj. x,y∈ R.  • Definicja równości, sumy i iloczynu liczb zespolonych: Niech z1=(x1,y1) i z2=(x2,y2) będą liczbami zespolonymi. Definiujemy: 1)  równość  liczb zespolonych z1 i z2:  z1=z2  ⇔  x1=x2 ^ y1=y2 2)  dodawanie  liczb zespolonych z1 + z2:  (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1,y2) 3)  iloczyn  liczb zespolonych z1∙z2:  (x1,y1)∙(x2,y2)=(x1+x2-y1,y2,x1y2+x2y1) • Definicja liczby przeciwnej: Liczbę zespoloną postaci (-x,-y) nazywamy liczbą przeciwną do (x,y). • Definicja odejmowania liczb zespolonych: Odejmowanie  liczb zespolonych określamy wzorem:  (x1,y1)-(x2,y2)=(x1,y1)+(-x2,-y2)=(x1-x2,y1-y2) • FAKT    : Liczby zespolone postaci (x,0), gdzie x∈ R, mają następujące własności: 1) (x1,0)+(x2,0)=(x1+x2,0) 2) (x1,0)∙(x2,0)=(x1∙x2,0) 3) (x1,0)-(x2,0)=(x1-x2,0) 4) ( )0, 2 1 2 1 ) 0 , ( ) 0 , ( x x x x = , gdzie x2 ≠ 0 Z własności tych wynika, że zbiór  { } R x x R ∈ = : ) 0 , ( 1  można utożsamiać ze zbiorem liczb  rzeczywistych R. Stąd będziemy pisali  x  zamiast  (x,0) . • Definicja liczby odwrotnej: Liczbą odwrotną do liczby zespolonej z=(x,y), z ≠ 0, nazywamy liczbę postaci: ( ) 2 2 2 2 , 1 y x y y x x z + − + = przy czym spełniony jest warunek:  1 1 = ⋅ z z . Sprawdzenie: z=(x,y) ( ) 2 2 2 2 , 1 y x y y x x z + − + = Sprawdzamy, czy  1 1 = ⋅ z z ( ) ( ) ( ) 1 ) 0 , 1 ( , , , ) , ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + + − + + + + − + − + + − + y x xy y x xy y x y x y x x y x y y x y y x x y x y y x x y x y x y x c.n.d. • Definicja dzielenia liczb zespolonych: Dzielenie liczb zespolonych z1 i z2 określamy wzorem: ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 , ) , ( ) , ( y x y x y x y x y y x x y x y x z z + − + + = = • Definicja jednostki urojonej: Liczbę zespoloną postaci (0,1), ozn. symbolem  i , nazywamy jednostką urojoną.  UWAGA: Jednostka urojona i ma tę własność, że i2=-1!!! Sprawdzenie : i2=(0,1)∙(0,1)=(0∙0-1∙1,0∙1-1∙0)=(-1,0)=-1 UWAGA:  postać algebraiczna liczby zespolonej: Każdą liczbę zespoloną z=(x,y) można zapisać w postaci:  z=x+iy nazywaną postacią algebraiczną liczby zespolonej.

(…)

…:
Argumentem liczby zespolonej z= x+iy, z ≠ 0, gdzie x,y ∈ R, nazywamy każdą liczbę φ ∈ R
spełniającą układ równań:
 cos ϕ = |x|
z


y
 sin ϕ = | z|

Argument liczby zespolonej oznaczamy przez arg(z). Przyjmujemy dodatkowo, że argumentem
liczby z=0 jest każda liczba φ ∈ R.
Argumentem głównym liczby zespolonej z ≠ 0 nazywamy argument φ tej liczby spełniający
nierówności: 0<φ<2π. Argument główny oznaczamy…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz