To tylko jedna z 8 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 7 Ciało liczb zespolonych cd. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej Każda liczba zespolona z = a + bi jest opisana przez parę liczb rzeczywi- stych. Zatem można ją interpretować jako punkt (lub wektor) na płaszczyźnie o współrzędnych ( a, b ): E Re z T Im z z = a + bi ` ` a ` b Odległość liczby z od początku układu współrzędnych nazywamy modu- łem liczby z i oznaczamy go przez |z| . Jeśli z = a + bi to |z| = √ a 2 + b 2. Zadanie Rozwiązać równanie |z| + z = 0. Rozwiązanie Ponieważ |z| interpretujemy jako odległość, więc |z| ∈ R. Więc jeśli z = −|z| to Im( z ) = 0 zatem z = a ∈ R. Stąd mamy a + √ a 2 = 0. Zatem rozwiązaniem równania są wszystkie liczby rzeczywiste mniejsze od zera. Własności modułów liczb zespolonych 1. |z · w| = |z| · |w| , 2. Jeśli w = 0 to | z w | = |z| |w| 3. |z + w| |z| + |w| Dowód Niech t = |z + w| z + w , wtedy |t| = 1 i t ( z + w ) = |z + w| ∈ R. Stąd mamy: |z + w| = t ( z + w ) = tz + tw = Re( tz + tw ) = = Re( tz ) + Re( tw ) |tz| + |tw| = |z| + |w|, 4. z · ¯ z = |z| 2. Zadanie Podać interpretację geometryczną zbioru {z ∈ C : |z| = 1 } oraz zbioru {z ∈ C : |z − i| = 1 } . Rozwiązanie {z ∈ C : |z| = 1 } : 1 E Re z T Im z ` 1 {z ∈ C : |z − i| = 1 } : E Re z T Im z ` i Kąt α między dodatnią stroną osi Re, a promieniem wodzącym liczby z nazywamy argumentem tej liczby i oznaczamy przez arg( z ). E Re z T Im z z = a + bi ` &% '$ Arg z Argumentem liczby zespolonej jest zbiór liczb rzeczywistych bo np. argu- mentem liczby 1 + i jest zbiór { π 4 + 2 kπ : k ∈ Z } . Argumentem głównym liczby z nazywamy ten z argumentów który zawarty jest w przedziale [0 , 2 π ). Argument główny liczby z oznaczamy przez Arg( z ), np. Arg(1 + i ) = π 4 . Zadanie Narysować na płaszczyźnie zbiór {z ∈ C : Arg( z ) = 2 π 3 } . Rozwiązanie 2 E Re z T Im z e e e e e e Jeśli α jest argumentem liczby z = a + bi to mamy: cos α = a |z| , sin α = b |z| Jeśli z = a + bi = 0 to mamy: z = |z| a |z| + i b |z| = |z| (cos α + i sin α ) postać tą nazywamy postacią trygonometryczną liczby z . Przykład Niech z = 1 − i , wtedy |z| = √ 12 + 12 = √ 2, cos α
(…)
… są więc elementami
postaci:
a + bi a, b ∈ R, i2 = −1
W zbiorze liczb zespolonych można wprowadzić działania dodawania i
mnożenia, które oznaczać będziemy przez + i ·. Oto ich definicje:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ac + bd)i,
elementem neutralnym + jest 0 + 0i, a mnożenia 1 + 0i.
Liczby postaci a+0i utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. Mamy zatem
R ⊆ C.
Przykład…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)