Ciało liczb zespolonych

Nasza ocena:

5
Pobrań: 189
Wyświetleń: 2135
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Ciało liczb zespolonych - strona 1 Ciało liczb zespolonych - strona 2 Ciało liczb zespolonych - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 7 Ciało liczb zespolonych cd. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej Każda liczba zespolona  z  =  a  +  bi  jest opisana przez parę liczb rzeczywi- stych. Zatem można ją interpretować jako punkt (lub wektor) na płaszczyźnie o współrzędnych ( a, b ): E Re z T Im z z  =  a  +  bi `         ` a ` b Odległość liczby  z  od początku układu współrzędnych nazywamy  modu- łem liczby  z  i oznaczamy go przez  |z| . Jeśli  z  =  a  +  bi  to  |z|  = √ a 2 +  b 2. Zadanie  Rozwiązać równanie  |z|  +  z  = 0. Rozwiązanie  Ponieważ  |z|  interpretujemy jako odległość, więc  |z| ∈  R. Więc jeśli  z  =  −|z|  to Im( z ) = 0 zatem  z  =  a ∈  R. Stąd mamy  a + √ a 2 = 0. Zatem rozwiązaniem równania są wszystkie liczby rzeczywiste mniejsze od zera. Własności modułów liczb zespolonych 1.  |z · w|  =  |z| · |w| , 2. Jeśli  w  = 0 to  | z w |  = |z| |w| 3.  |z  +  w| |z|  +  |w| Dowód  Niech  t  = |z + w| z + w  , wtedy  |t|  = 1 i  t ( z  +  w ) =  |z  +  w| ∈  R. Stąd mamy: |z  +  w|  =  t ( z  +  w ) =  tz  +  tw  = Re( tz  +  tw ) = = Re( tz ) + Re( tw ) |tz|  +  |tw|  =  |z|  +  |w|, 4.  z ·  ¯ z  =  |z| 2. Zadanie  Podać interpretację geometryczną zbioru  {z ∈  C :  |z|  = 1 }  oraz zbioru  {z ∈  C :  |z − i|  = 1 } . Rozwiązanie {z ∈  C :  |z|  = 1 } : 1 E Re z T Im z ` 1 {z ∈  C :  |z − i|  = 1 } : E Re z T Im z ` i Kąt  α  między dodatnią stroną osi Re, a promieniem wodzącym liczby  z nazywamy argumentem tej liczby i oznaczamy przez arg( z ). E Re z T Im z z  =  a  +  bi `         &% '$ Arg z Argumentem liczby zespolonej jest zbiór liczb rzeczywistych bo np. argu- mentem liczby 1 +  i  jest zbiór  { π 4 + 2 kπ  :  k ∈  Z } . Argumentem głównym  liczby  z  nazywamy ten z argumentów który zawarty jest w przedziale [0 ,  2 π ). Argument główny liczby  z  oznaczamy przez Arg( z ), np. Arg(1 +  i ) = π 4 . Zadanie  Narysować na płaszczyźnie zbiór  {z ∈  C : Arg( z ) = 2 π 3  } . Rozwiązanie 2 E Re z T Im z e e e e e e Jeśli  α  jest argumentem liczby  z  =  a  +  bi  to mamy: cos  α  = a |z| ,  sin  α  = b |z| Jeśli  z  =  a  +  bi  = 0 to mamy: z  =  |z| a |z| +  i b |z| =  |z| (cos  α  +  i  sin  α ) postać tą nazywamy  postacią trygonometryczną  liczby  z . Przykład  Niech  z  = 1  − i , wtedy  |z|  = √ 12 + 12 = √ 2, cos  α 

(…)

… są więc elementami
postaci:
a + bi a, b ∈ R, i2 = −1
W zbiorze liczb zespolonych można wprowadzić działania dodawania i
mnożenia, które oznaczać będziemy przez + i ·. Oto ich definicje:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ac + bd)i,
elementem neutralnym + jest 0 + 0i, a mnożenia 1 + 0i.
Liczby postaci a+0i utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. Mamy zatem
R ⊆ C.
Przykład…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz