EUKLIDESOWA PRZESTRZEŃ AFINICZNA (WEKTOROWA)
RZECZYWISTA
Definicja 1
(
n
, , +, ⋅ )
u = ( x1 , x2 ,..., xn )
( u / v ) := x y + x y
1 1
2
2
v = ( y1 , y2 ,..., yn )
+ ... + xn yn - nazywamy iloczynem skalarnym
Możemy go również oznaczać w następujący sposób:
( u / v ) := u
v
Definicja 2
(
n
,
) tę przestrzeń wektorową nad ciałem
oznaczamy
( E ) i nazywamy euklidesową.
z iloczynem skalarnym
n
Definicja 3
(
)
n
- przestrzeń afiniczna, gdzie w
wprowadzono iloczyn
skalarny
n
Przestrzeń
zdefiniowaną z iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią
euklidesową i oznaczamy En .
n
,
n
, +, ⋅
Definicja 4
Jeżeli w przestrzeni
En
u = ( x1 , x2 ,..., xn ) to związek:
|| u ||:=
(u / v )
WNIOSEK:
nazywamy normą
2
2
|| u ||:= x12 + x2 + ... + xn
Definicja 5
( E , E , +, ⋅ )
n
n
x, y ∈ En
to odległością nazywamy:
d ( x, y ) :=|| xy ||
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 9
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
Definicja 5
En - przestrzeń euklidesowa u , v ∈ En
Jeżeli
(u / v ) = 0
u ≠ 0∧v ≠ 0
to mówimy, że wektory
u , v są ortogonalne.
GEOMETRIA ANALITYCZNA PRZESTRZENI EUKLIDESOWEJ E3
Oznaczenie:
( E , E , +, ⋅ )
( 0 , i, j , k )
n
- przestrzeń euklidesowa
n
- układ współrzędnych przestrzeni afinicznej
0
i := (1, 0, 0 )
j := ( 0,1, 0 ) k := ( 0, 0,1)
UWAGA:
W przestrzeni E3 zamiast mówić, że dwa wektory są ortogonalne mówimy,
że są prostopadłe. Zachodzi tam również:
|| i ||=|| j ||=|| k ||= 1 i
i⊥ j i⊥k
k⊥ j
UMOWA:
W E3 przyjmujemy tzw. ortogonalny układ współrzędnych.
z
k
i
y
j
x
Definicja 1
u , v ∈ En
Kątem między wektorami
( u, v )
nazywamy mniejszy z 2 kątów jakie one
tworzą jeżeli zaczepimy je w początku układu.
UWAGA:
Dowodzi się, że:
u v =|| u || ⋅ || v || cos
( u, v ) , stąd
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
cos
(u, v ) = || uu|| ⋅ ||v v ||
strona 2 z 9
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
u ∈ En
Definicja 2
Wersorem wektora u nazywamy wektor, który ma ten sam kierunek i zwrot
ale długość równą 1.
wersu ↑↑ u
∧
wersu = 1
WNIOSEK:
u = [ x1 , x2 , x3 ]
u ≠1
u≠0
x y z
wersu = , ,
u u u
UWAGA:
u = u x , u y , u z
cos
( u, i ) =
cos
( )
cos
( u, k ) =
u i
u
=
i
u j
u, j =
j
u
u k
u
k
ux
=
u
uy
=
u
uz
u
Definicja 3.
cos
( u, i )
cos
( u, j )
cos
(u, k ) nazywamy kosinusami kierunkowymi
WNIOSEK:
wersu = cos
(u, i ) , cos (u, j ) , cos ( u, k )
UWAGA:
Wszystkie powyższe definicje i wnioski dotyczą też (odpowiednio)
przestrzeni E2.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 9
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
ORIENTACJA
Orientacja w
( a, b)
( E , E , +)
E2
2
( c, d )
O
2
O'
Dwie pary wektorów liniowo niezależnych zaczepionych w punkcie O, O’
Te 2 pary wektorów nazymamy równoskrętnymi jeżeli poprzez
przesunięcie i obrót można doprowadzić do sytuacji, że punkt O pokryje się
z punktem O’, wektory a, c leżą na tej samej prostej i mają ten sam zwrot
a wektory c, d leżą po tej samej stronie tej prostej.
b
d
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)