To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Chemia, II sem. Przestrzenie wektorowe.
DEFINICJA I PODSTAWOWE WŁASNOŚCI PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
Niech K = (K, +, ·) będzie pewnym ciałem - zwanym w dalszym ciągu ciałem skalarów. Jeżeli na wykładzie
nie podano ogólnej definicji ciała, to wystarczy wiedzieć, że zarówno R (zbiór liczb rzeczywistych) jak i C
(zbiór liczb zespolonych) wraz z czterema działaniami: dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem
przez liczbę różną od zera - są ciałami. Uwaga: także W (zbiór liczb wymiernych) z tymi działaniami jest
ciałem.
Definicja: Przestrzenią wektorową nad ciałem K nazywamy czwórkę V = (V, +, •, K), gdzie
0) V - pewien zbiór niepusty (zwany zbiorem wektorów);
+ : V × V → V - działanie dwuargumentowe na zbiorze V , tzn. funkcja, przyporządkowująca każdym
dwóm wektorom u, v ∈ V wektor u+v, zwany sumą tych wektorów;
• : K × V → V - funkcja, przyporządkowująca każdej parze (α, v), gdzie α jest skalarem (α ∈ K), zaś v
jest wektorem (v ∈ V ) - pewien wektor, zwany iloczynem wektora v przez skalar α i oznaczany przez α • v
(lub też krócej - po prostu przez αv) –
– przy czym spełnione są następujące aksjomaty 1) i 2):
1) (V, +) jest grupą (zob. a, b, c poniżej) i to przemienną, czyli abelową (d), tzn.:
a) dla dowolnych wektorów u, v, w zachodzi
(u+v)+w = u+(v+w) (łączność dodawania wektorów);
b) istnieje element 0 ∈ V taki, że
0+v = v = v+0 dla dowolnego wektora v ∈ V ;
0 nazywamy wektorem zerowym, jest on elementem neutralnym względem dodawania wektorów;
c) dla każdego wektora v ∈ V istnieje wektor oznaczany przez –v taki, że
v + (–v) = 0 = (–v) + v;
d) dla dowolnych wektorów u, v zachodzi
u+v = v+u (przemienność dodawania wektorów).
2) Dla dowolnych wektorów i skalarów występujących poniżej zachodzą równości:
a) α • (u + v) = α • u + α • v;
b) (α + β) • v = α • v + β • v;
c) α • (β • v) = (αβ) • v;
d) 1 • v = v.
Z powyższych aksjomatów można z łatwością wyprowadzić następujące własności:
a) 0 • v = 0;
b) α • 0 = 0;
c) (–α) • v = –(α • v) = α • (–v), w szczególności (–1) • v = –v;
d) α • v = 0 ⇔ (α = 0 lub v = 0).
Od tej pory rezygnujemy z rozróżniania + i +, − i –, · i • oraz 0 i 0.
PODPRZESTRZENIE PRZESTRZENI WEKTOROWEJ
Definicja. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech W będzie pewnym niepustym podzbiorem zbioru V (W ⊆ V ). Mówimy, że W jest podprzestrzenią przestrzeni V , jeżeli spełnione są następujące
dwa warunki:
a) dla dowolnych wektorów w1 , w2 ∈ W , ich suma w1 + w2 również należy do W ;
b) dla dowolnego skalara α i dla dowolnego wektora w ∈ W , iloczyn αw również należy do W .
Oba te warunki wyrażamy krótko mówiąc, że podzbiór W jest zamknięty ze względu na dodawanie wektorów i ze względu na mnożenie przez dowolny skalar z K. Łatwo zauważyć, że każda podprzestrzeń przestrzeni
wektorowej sama jest przestrzenią wektorową ze względu na odpowiednio ograniczone działania. Powyższe
warunki a) i b) wyrażamy niekiedy łącznie poprzez jeden warunek:
c) dla dowolnych w1 , w2 ∈ W i α1 , α2 ∈ K, zachodzi α1 w1 + α2 w2 ∈ W .
Występujące
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)