Przestrzeń i podprzestrzeń wektorowa.
Przestrzenią wektorową nad ciałem K nazywamy czwórkę V=(V,+,•,K), gdzie
V - pewien zbiór niepusty (zwany zbiorem wektorów);
K = (K,+, ) − ciało skalarów (np. R albo C)
+:V→V - działanie dwuargumentowe na zbiorze V, tzn. funkcja, przyporządkowująca każdym dwóm
wektorom u, v∈V wektor u + v, zwany sumą tych wektorów;
•:K→V - funkcja, przyporządkowująca każdej parze (α,v), gdzie α∈K, zaś v∈V - pewien wektor, zwany
iloczynem wektora v przez skalar α i oznaczany przez α•v (lub αv)
− przy czym spełnione są następujące aksjomaty:
1) (V,+) jest grupą abelową, tzn.:
a) dla dowolnych wektorów u, v, w zachodzi (u + v) + w = u + (v + w) (łączność dodawania wektorów);
b) istnieje element 0∈V taki, że 0 + v = v = v + 0 dla dowolnego wektora v∈V; (0 − wektor zerowy)
c) dla każdego wektora v∈V istnieje wektor oznaczany przez –v taki, że v + (–v) = 0 = (–v) + v;
d) dla dowolnych wektorów u, v zachodzi u + v = v + u (przemienność dodawania wektorów).
2) Dla dowolnych wektorów i skalarów występujących poniżej zachodzą równości:
a)
α•(u + v) = α•u + α•v
b)
(α+β)•v = α•v + β•v
c)
α•(β•v) = (αβ)•v
d)
1•v = v
Podzbiór V przestrzeni Rn (nad ciałem R, z działaniami „ · ” oraz „ + ” ) jest podprzestrzenią wektorową Rn
(nad ciałem R z tymi samymi działaniami) jeżeli spełnione są warunki:
1) v ∈ V i c ∈ R ⇒ c· v ∈ V
2) v1 i v2 ∈ V ⇒ v1 + v2 ∈ V
1) Sprawdzić, że zbiór wszystkich wielomianów stopnia mniejszego lub równego n wraz ze zwykłymi
działaniami (dodawanie wielomianów i mnożenie wielomianów przez liczbę) stanowi przestrzeń wektorową
nad R.
x1
3
2) Które z podzbiorów R są podprzestrzeniami wektorowymi ?
Wektor v = x 2
x3
a) { v ∈R3 : x1 ≠ 0 }
d) { v ∈ R3 : x1· x3 = 0 }
b) { v ∈ R3 : x1 + 3x2 = x3 }
e) { v ∈ R3 : x1 jest liczbą wymierną}
c) { v ∈ R3 : x2 = x12 }
f) { v ∈ R3 : x1=0, x2=2x3}
Baza i wymiar przestrzeni wektorowej
•
•
•
•
•
•
Wektory v1, v2, ..., vn należące do przestrzeni wektorowej nad ciałem K nazywamy liniowo niezależnymi,
jeśli z równości a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0 , ai ∈ K wynika a1 = a2 = ... = an = 0
W przeciwnym razie, tzn. gdy istnieją elementy ai ∈ K, nie wszystkie równe zeru, dla których zachodzi
równość a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0, wektory nazywamy liniowo zależnymi.
Wektory v1, v2, ..., vn rozpinają przestrzeń wektorową W, jeżeli każdy wektor w ∈ W można przedstawić
jako kombinację liniową wektorów v1, v2, ..., vn tzn. istnieją takie c1, ..., cn ∈ K , że w = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn
Układ wektorów v1, v2, ..., vn ∈ W nazywa się bazą przestrzeni wektorowej W jeżeli wektory v1, v2, ..., vn
są liniowo niezależne oraz rozpinają przestrzeń W
0
0
1
1
0
0
n
, e2 = , ..., en =
Bazą kanoniczną przestrzeni R nazywamy bazę złożoną z wektorów e1 =
M
M
M
0
1
0
Każde dwie bazy przestrzeni W składają się z tej samej liczby wektorów. Wymiarem przestrzeni W
nazywamy ilość wektorów jej bazy.
3
−1
1) Czy wektor ∈ R4 należy do podprzestrzeni
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)