To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE PRZESTRZENI WEKTOROWYCH.
MACIERZ PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWEGO.
Niech V i W będą przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciałem K. Odwzorowanie F : V → W
nazywamy odwzorowaniem liniowym (przestrzeni V w przestrzeń W ), jeżeli spełnione są następujące warunki:
(i) F (v1 + v2 ) = F v1 + F v2
(ii) F (αv) = α(F v)
dla dowolnych wektorów v1 , v2 , v ∈ V i dla dowolnego skalara α (jak widać, wartość odwzorowania liniowego
na wektorze v oznaczamy przez F v zamiast na ogół przyjętego F (v); wiąże się to z faktem, że działanie F
ma pewne własności iloczynu - w rodzaju rozdzielności mnożenia względem dodawania). Warunki (i) i (ii)
możemy też wyrazić równoważnie jako
F (α1 v1 + α2 v2 ) = α1 F v1 + α2 F v2
dla dowolnych wektorów v1 , v2 i skalarów α1 , α2 . Konsekwencją tych warunków jest z kolei zachowywanie
dowolnej kombinacji liniowej wektorów z przestrzeni V :
F (α1 v1 + . . . + αk vk ) = α1 F v1 + . . . + αk F vk ,
co możemy również zapisać jako F (U C) = F (U )C, jeżeli umówimy się, że przez dla układu U = (u1 , . . . , uk )
przez F (U ) rozumiemy układ (F u1 , . . . , F uk ); C jest tu dowolną macierzą kolumnową [α1 , α2 , . . . , αk ]T , a w
konsekwencji także dowolną macierzą o k wierszach.
W szczególnym przypadku, gdy V = W , przekształcenie liniowe F : V → V , tzn. przekształcenie liniowe
prowadzące z danej przestrzeni w nią samą, nazywamy operatorem liniowym.
Łatwo przekonać się, że:
(i) suma dwóch odwzorowań liniowych z V w W jest odwzorowaniem liniowym;
(ii) iloczyn danego odwzorowania liniowego przez dowolną liczbę (skalar z K) jest odwzorowaniem liniowym;
(iii) jeżeli F jest odwzorowaniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W , zaś G jest odwzorowaniem
liniowym przestrzeni W w przestrzeń U , to złożenie GF = G ◦ F (rozumiane jako: (GF )v = G(F v), v ∈ V )
jest odwzorowaniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń U .
(iv) jeżeli F jest przekształceniem liniowym F : V1 → V2 , oraz W1 , W2 są podprzestrzeniami odpowiednio
przestrzeni V1 i V2 , to:
obraz podprzestrzeni W1 przy odwzorowaniu F , tzn. zbiór F (W1 ) = {F w : w ∈ W1 } jest podprzestrzenią
przestrzeni V2 ; w szczególności obraz przekształcenia F , tzn. podzbiór
im F = F (V1 ) = {F v : v ∈ V1 }
przestrzeni V2 jest podprzestrzenią przestrzeni V2 ;
przeciwobraz podprzestrzeni W2 przy przekształceniu F , tzn. zbiór
F −1 (W ) = {v ∈ V : F v ∈ W2 }
jest podprzestrzenią przestrzeni V1 ; w szczególności jądro przekształcenia F , tzn. zbiór ker F = {v ∈ V1 :
F v = 0} = F −1 ({0}) jest podprzestrzenią przestrzeni V (zauważmy, że przeciwobraz F −1 (W ) zawsze istnieje,
nawet gdy nie istnieje przekształcenie odwrotne do F , które – o ile istnieje – jest również oznaczane symbolem
F −1 , a jego wartości - symbolem F −1 (v1 ) z małym v1 ).
Bazę jądra przekształcenia liniowego F o macierzy (w danych bazach) A można wyznaczyć rozwiązując
jednorodny układ równań liniowych AX = 0, natomiast obraz odwzorowania F jest podprzestrzenią rozpiętą
na kolumnach macierzy A. Zachodzi tzw.
(…)
… rozwiązując
jednorodny układ równań liniowych AX = 0, natomiast obraz odwzorowania F jest podprzestrzenią rozpiętą
na kolumnach macierzy A. Zachodzi tzw.…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)