To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 6
Ciało liczb zespolonych
Rozważmy równanie x2 +1 = 0. Oczywiście równanie to nie ma rozwiązań
w ciele liczb rzeczywistych. Pytanie, które nasuwa się w tym miejscu brzmi:
Czy można tak rozszerzyć ciało liczb rzeczywistych, żeby otrzymać nowe ciało, w którym to równanie ma rozwiązanie (jedno z założeń jest takie aby nowe
ciało zawierało ciało liczb rzeczywistych i musi być takie, żeby działania w
tym ciele ograniczone do zbioru liczb rzeczywistych były zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia). Takie ciało można skonstruować. Oznaczmy
przez i jedno z rozwiązań równania x2 + 1 = 0 (oczywiście i nie jest liczbą rzeczywistą), a więc mamy i2 = −1. Rozważmy zbiór elementów postaci
a + bi, gdzie a, b są liczbami rzeczywistymi. Te elementy możemy traktować
jako pary liczb rzeczwistych to znaczy element a + bi możemy utożsamiać
z parą (a, b). Równość a + bi = c + di zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy
a = c i b = d. Zbiór takich elementów oznaczać będziemy przez C i nazywać będziemy zzbiorem liczb zespolonych, a każdy element tego zbioru
nazywać będziemy liczbą zespoloną. Zapis a + bi liczby zespolonej nazywamy postacią algebraiczną (lub kanoniczną) liczby zespolonej. Jeśli
z = a + bi jest liczbą zespoloną to liczbę rzeczywistą a nazywamy częścią
rzeczywistą liczby z i oznaczamy ją przez Re(z), a liczbę rzeczywistą b
nazywamy częścią urojoną liczby z i oznaczamy ją przez Im(z). Na przykład Re(2 − 3i) = 2, a Im(2 − 3i) = −3. Liczby zespolone są więc elementami
postaci:
a + bi a, b ∈ R, i2 = −1
W zbiorze liczb zespolonych można wprowadzić działania dodawania i
mnożenia, które oznaczać będziemy przez + i ·. Oto ich definicje:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ac + bd)i,
elementem neutralnym + jest 0 + 0i, a mnożenia 1 + 0i.
Liczby postaci a+0i utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. Mamy zatem
R ⊆ C.
Przykład Wykonajmy działania:
(3 + 2i) − (5 + 4i) = −2 − 2i
(2 + 3i)(3 − 4i) = 18 + i
(2 + 4i)2 = 4 + 16i − 16 = −12 + 16i
1
Zadanie Wyznaczyć liczby rzeczywiste x i y dla których:
(x + iy)(2 − i) = 2i
Rozwiązanie
(x + iy)(2 − i) = 2x + y + (−x + 2y)i = 2i
stąd mamy:
2x + 3y = 0
−x + 2y = 2
Z drugiego równania otrzymujemy x = 2y − 2 i podstawiając do pierwszego
mamy 2(2y−2)+3y = 0, stąd 7y = 4, zatem y = 4 i x = 2 4 −2 = 8 − 14 = − 6 .
7
7
7
7
7
Pokażemy teraz jak można wyznaczyć liczbę odwrotną do liczby a+bi = 0
1
to znaczy liczbę a+bi :
1
a − bi
a − bi
a
b
=
= 2
= 2
− 2
i
a + bi
(a + bi)(a − bi)
a + b2
a + b2 a + b2
Jeśli liczba a + bi = 0 to a = 0 lub b = 0 i wtedy a2 + b2 = 0, a więc liczba
a+bi jest w tym przypadku odwracalna. Mamy więc C∗ = C−{0}. Powyższe
rozważania prowadzą nas do następującego stwierdzenia:
Twierdzenie 1 Struktura (C, +, ·) jest ciałem.
Odwracając liczbę a + bi wymnożyliśmy licznik i mianownik przez liczbę
a−bi, liczbę tą nazywamy liczbą sprzężoną do liczby z = a+bi i oznaczamy
ją przez z . Mamy zatem:
¯
Jeśli z = a + bi ∈ C to z = a − bi
¯
Własności sprzężenia
¯ ¯
1. z ± w = z ± w,
2. z · w
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)